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🍇Python逆动力学算法

逆动力学是指计算运动中的力。给定配置 q q q、广义速度 q ˙ \dot{ q } q˙ 和广义加速度 q ¨ \ddot{ q } q¨,相当于找到关节扭矩 τ \tau τ 和接触力 f ext  f ^{\text {ext } } fext  使得运动约束方程得到满足:
M ( q ) q ¨ + q ˙ ⊤ C ( q ) q ˙ = S ⊤ τ + τ g ( q ) + τ est  + J ( q ) ⊤ f ext  J ( q ) q ¨ + q ˙ ⊤ H ( q ) q ˙ = 0 \begin{aligned} M ( q ) \ddot{ q }+\dot{ q }^{\top} C ( q ) \dot{ q } & = S ^{\top} \tau + \tau _g( q )+ \tau ^{\text {est }}+ J ( q )^{\top} f ^{\text {ext }} \\ J ( q ) \ddot{ q }+\dot{ q }^{\top} H ( q ) \dot{ q } & = 0 \end{aligned} M(q)q¨+q˙C(q)q˙J(q)q¨+q˙H(q)q˙=Sτ+τg(q)+τest +J(q)fext =0

逆动力学的数学函数如下:
( τ , f e x t ) = ID ⁡ ( q , q ˙ , q ¨ ) \left(\tau, f ^{e x t}\right)=\operatorname{ID}( q , \dot{ q }, \ddot{ q }) (τ,fext)=ID(q,q˙,q¨)
当我们的线性系统完全确定时,该函数定义明确,例如对于具有六个自由度的手臂,但对于在多个接触下的移动机器人,该函数通常是欠确定的。在这种情况下,我们可以将外力的计算转移到例如接触模型,并仅计算关节扭矩:
τ = RNEA ⁡ ( q , q ˙ , q ¨ , f est  ) \tau =\operatorname{RNEA}\left( q , \dot{ q }, \ddot{ q }, f ^{\text {est }}\right) τ=RNEA(q,q˙,q¨,fest )
递归牛顿-欧拉算法为我们提供了一种实现此功能的有效方法。该算法分为两步:前向传递,主要是二阶正向运动学,然后是后向传递,计算力和关节扭矩。

此算法第一遍计算主体速度 v i v _i vi 和加速度 a i a _i ai。从运动树的根 i = 0 i=0 i=0 开始,物体 i i i 的运动 v i , a i v _i, a _i vi,ai 是根据运动 v λ ( i ) , a λ ( i ) v _{\lambda(i)}, a _{\lambda( i)} vλ(i),aλ(i) 其父体 λ ( i ) \lambda(i) λ(i) 的分量,加上它们之间的关节的运动 q ˙ i , q ¨ i \dot{ q }_i, \ddot{ q }_i q˙i,q¨i​ 引起的分量。让我们从主体速度开始:
v i = i X λ ( i ) v λ ( i ) + S i q ˙ i v _i={ }^i X _{\lambda(i)} v _{\lambda(i)}+ S _i \dot{ q }_i vi=iXλ(i)vλ(i)+Siq˙i
在此方程中, i X λ ( i ) { }^i X _{\lambda(i)} iXλ(i) 是从 λ ( i ) \lambda(i) λ(i) i i i 的 Plücker 变换, S i S _i Si 是关节的运动子空间矩阵。请注意, q ˙ i ∈ R k \dot{ q }_i \in R ^k q˙iRk 是关节的速度,例如对于浮动底座(又名自由飞行器)关节, k = 6 k=6 k=6,对于球形关节, k = 2 k=2 k=2,对于旋转关节或棱柱关节, k = 1 k=1 k=1。无论如何, q ˙ i \dot{ q }_i q˙i 不是广义速度向量 q ˙ \dot{ q } q˙ i th  i^{\text {th }} ith  分量(这没有意义,因为 i i i 是关节的索引,而向量 q ˙ \dot{ q } q˙ 按自由度索引)。因此,运动子空间矩阵的维度为 6 × k 6 \times k 6×k

接下来,让我们假设一个“常见”关节(旋转关节、棱柱关节、螺旋关节、圆柱关节、平面关节、球形关节、自由飞行关节),这样运动子空间矩阵的视在时间导数为零。除非你处理的是不同的关节,否则不要介意这句话。 然后,在前向传递过程中从父关节计算出的主体加速度为:
a i = i X λ ( i ) a λ ( i ) + S i q ¨ i + v i × S i q ˙ i a _i={ }^i X _{\lambda(i)} a _{\lambda(i)}+ S _i \ddot{ q }_i+ v _i \times S _i \dot{ q }_i ai=iXλ(i)aλ(i)+Siq¨i+vi×Siq˙i
到目前为止,该正向传递是二阶正向运动学。一路上我们要计算的最后一件事是由主体运动 v i v _i vi a i a _i ai​产生的主体惯性力:
f i = I i a i + v i × ∗ I i v i − f i est  f _i= I _i a _i+ v _i \times{ }^* I _i v _i- f _i^{\text {est }} fi=Iiai+vi×Iivifiest 
我们将在向后传递期间更新这些力向量。请注意,由于它们是力矢量,因此我们的符号意味着 f i ext  f _i^{\text {ext }} fiext  也是一个物体力矢量。如果外力在惯性系中表示为 0 f i ext  { }^0 f _i^{\text {ext }} 0fiext ,则可以通过以 f i = i X 0 0 f i e x t f _i={ }^i X _0{ }^0 f _i^{e x t} fi=iX00fiext​ 映射到主体框架 。

此算法的第二遍计算体积力。从运动树的叶节点开始,物体 i i i 的广义力 f i f _i fi 被添加到迄今为止为其父代 λ ( i ) \lambda(i) λ(i) 计算的力 f λ ( i ) f _{\lambda(i)} fλ(i)​ :
f λ ( i ) = f λ ( i ) + i X λ ( i ) ⊤ f i f _{\lambda(i)}= f _{\lambda(i)}+{ }^i X _{\lambda(i)}^{\top} f _i fλ(i)=fλ(i)+iXλ(i)fi
一旦计算出主体 i i i 上的广义力 f i f _i fi,我们就可以通过沿关节轴投影该 6D 主体矢量来获得相应的关节扭矩 τ i \tau _i τi​:
τ i = S i ⊤ f i \tau _i= S _i^{\top} f _i τi=Sifi
对于旋转关节, S i S _i Si 是一个 6 × 1 6 \times 1 6×1 列向量,因此我们以单个数字 τ i = S i ⊤ f i \tau_i= S _i^{\top} f _i τi=Sifi 结尾:关节伺服系统应提供的驱动扭矩提供跟踪 ( q , q ˙ , q ¨ , f e x t ) \left( q , \dot{ q }, \ddot{ q }, f ^{e x t}\right) (q,q˙,q¨,fext)。所有其他组件对应于我们的旋转关节的五度约束,并将由关节的力学被动提供。

现在让我们通过在伪 Python 中执行相同的操作来明确更多的事情。我们的(此算法)函数原型是:

def rnea(q, qd, qdd, f_ext):
    pass

请注意,q 是每个关节的广义坐标列表,而不是平面数组,其他参数也是如此。特别是,f_ext 是体力矢量 f i ext  f _i^{\text {ext }} fiext  的列表。使用 Python 类型注释,我们的原型将如下所示:

from typing import List

import numpy as np

def rnea(
    q: List[np.ndarray],
    qd: List[np.ndarray],
    qdd: List[np.ndarray],
    f_ext: List[np.ndarray],
) -> List[np.ndarray]:
    pass

这种额外的结构允许更通用的关节,例如球形关节(不常见)或用于移动机器人浮动底座的自由飞行关节(常见)。如果所有关节都是旋转的,那么所有类型都将合并为平面阵列。

让我们用 v 0 = 0 v _0= 0 v0=0 表示运动树根链接的空间速度,用 a 0 a _0 a0 表示其空间加速度。我们将它们分别初始化为零和标准重力加速度:

n = len(qd) - 1  # number of links == number of joints - 1
v = [np.empty((6,)) for i in range(n + 1)]
a = [np.empty((6,)) for i in range(n + 1)]
f = [np.empty((6,)) for i in range(n + 1)]
tau = [np.empty(qd[i].shape) for i in range(n + 1)]
v[0] = np.zeros((6,))
a[0] = -np.array([0.0, 0.0, -9.81])

我们继续前向传递,范围从链接 i = 1 i=1 i=1 到树的最后一个链接 i = n i=n i=n

for i in range(1, n + 1):
    p = lambda_[i]  # p for "parent"
    X_p_to_i[i], S[i], I[i] = compute_joint(joint_type[i], q[i])
    v[i] = X_p_to_i[i] * v[p] + S[i] * qd[i]
    a[i] = X_p_to_i[i] * a[p] + S[i] * qdd[i] + spatial_cross(v[i], S[i] * qd[i])
    f[i] = I[i] * a[i] + spatial_cross_dual(v[i], I[i] * v[i]) - f_ext[i]

向后传递以相反的顺序遍历相同的范围:

for i in range(n, 0, -1):
    p = lambda_[i]
    tau[i] = S[i].T * f[i]
    f[p] += X_p_to_i[i].T * f[i]

最终,我们得到:

def rnea(q, qd, qdd, f_ext):
    n = len(qd)
    v = [np.empty((6,)) for i in range(n + 1)]
    a = [np.empty((6,)) for i in range(n + 1)]
    f = [np.empty((6,)) for i in range(n + 1)]
    tau = [np.empty(qd[i].shape) for i in range(n + 1)]
    v[0] = np.zeros((6,))
    a[0] = -np.array([0.0, 0.0, -9.81])
    for i in range(1, n + 1):
        p = lambda_[i]
        X_p_to_i[i], S[i], I[i] = compute_joint(joint_type[i], q[i])
        v[i] = X_p_to_i[i] * v[p] + S[i] * qd[i]
        a[i] = X_p_to_i[i] * a[p] + S[i] * qdd[i] + spatial_cross(v[i], S[i] * qd[i])
        f[i] = I[i] * a[i] + spatial_cross_dual(v[i], I[i] * v[i]) - f_ext[i]
    for i in range(n, 0, -1):
        p = lambda_[i]
        tau[i] = S[i].T * f[i]
        f[p] += X_p_to_i[i].T * f[i]
    return tau

长度不同的数组列表通常是刚体动力学库或模拟器中的内部结构。从此类列表到平面数组结构的映射称为关节,并决定如何表示球形和自由飞行关节的方向。

👉参阅:亚图跨际

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