线性插值和抛物线插值

#两点拉格朗日线性插值，一次插值多项式
x_list = [1, 3]
y_list = [1, 2]
#所要求的插值x的值
x = 1.5

l_0 = (x - x_list[1]) / (x_list[0] - x_list[1])
l_1 = (x - x_list[0]) / (x_list[1] - x_list[0])

P = l_0 * y_list[0] + l_1 * y_list[1]
print(P)

结果：

1.25

#两点拉格朗日线性插值，一次插值多项式
x_list = [100, 121]
y_list = [10, 11]
#所要求的插值x的值
x = 115

l_0 = (x - x_list[1]) / (x_list[0] - x_list[1])
l_1 = (x - x_list[0]) / (x_list[1] - x_list[0])

P = l_0 * y_list[0] + l_1 * y_list[1]
print(P)

结果：

10.714285714285715

#三点拉格朗日抛物线插值
x_list = [1, 3, 2]
y_list = [1, 2, -1]
#所要求的插值x的值
x = 1.5

l_0 = ((x - x_list[1]) * (x - x_list[2])) / ((x_list[0] - x_list[1]) * (x_list[0] - x_list[2]))
l_1 = ((x - x_list[0]) * (x - x_list[2])) / ((x_list[1] - x_list[0]) * (x_list[1] - x_list[2]))
l_2 = ((x - x_list[0]) * (x - x_list[1])) / ((x_list[2] - x_list[0]) * (x_list[2] - x_list[1]))

P = l_0 * y_list[0] + l_1 * y_list[1] + l_2 * y_list[2]
print(P)

结果：

-0.625

#三点拉格朗日抛物线插值
x_list = [100, 121, 144]
y_list = [10, 11, 12]
#所要求的插值x的值
x = 115

l_0 = ((x - x_list[1]) * (x - x_list[2])) / ((x_list[0] - x_list[1]) * (x_list[0] - x_list[2]))
l_1 = ((x - x_list[0]) * (x - x_list[2])) / ((x_list[1] - x_list[0]) * (x_list[1] - x_list[2]))
l_2 = ((x - x_list[0]) * (x - x_list[1])) / ((x_list[2] - x_list[0]) * (x_list[2] - x_list[1]))

P = l_0 * y_list[0] + l_1 * y_list[1] + l_2 * y_list[2]
print(P)

结果：

10.722755505364201

基函数和拉格朗日插值公式

#拉格朗日插值多项式
from sympy import *
x = Symbol('x')
x_list = [0, 1, 2]
y_list = [1, 2, 3]
l_list = []
for i in range(len(x_list)):
    X, Y = 1, 1
    for j in range(len(y_list)):
        if i == j:
            pass
        else:
            X = X * (x - x_list[j])
            Y = Y * (x_list[i] - x_list[j])
    l = expand(X / Y)   #扩展代数表达式
    l_list.append(l)
P = 0
for k in range(len(y_list)):
    P += l_list[k] * y_list[k]
print(P)

结果：

x + 1

#拉格朗日插值多项式
from sympy import *
x = Symbol('x')
x_list = [1, 2, 3, 4]
y_list = [0, -5, -6, 3]
l_list = []
for i in range(len(x_list)):
    X, Y = 1, 1
    for j in range(len(y_list)):
        if i == j:
            pass
        else:
            X = X * (x - x_list[j])
            Y = Y * (x_list[i] - x_list[j])
    l = expand(X / Y)   #扩展代数表达式
    l_list.append(l)
P = 0
for k in range(len(y_list)):
    P += l_list[k] * y_list[k]
print(P)

结果：

x**3 - 4*x**2 + 3

迭代插值

#拉格朗日插值多项式
from sympy import *

x = 50
x_list = [45, 60, 30, 90, 0]
def f(a):
    f = sin(a/180*pi)
    return f.evalf()

n = len(x_list)
P = 0
for i in range(n):
    X, Y = 1, 1
    for j in range(n):
        if i == j:
            pass
        else:
            X = X * (x - x_list[j])
            Y = Y * (x_list[i] - x_list[j])
    P += X/Y*f(x_list[i])
print(P)

结果：

0.766025943265555

#拉格朗日插值多项式
from sympy import *

x = 1/2
x_list = [-2, -1, 0, 1, 2]
def f(a):
    f = 3**a
    return f

n = len(x_list)
P = 0
for i in range(n):
    X, Y = 1, 1
    for j in range(n):
        if i == j:
            pass
        else:
            X = X * (x - x_list[j])
            Y = Y * (x_list[i] - x_list[j])
    P += X/Y*f(x_list[i])
print(P)

结果：

1.7083333333333335