2023.6.19 更新：
PSNR与SSIM的API已迁移至 skimage.metrics.peak_signal_noise_ratio 和 skimage.metrics.structural_similarity
具体信息请查看 skimage官方文档API

1. PSNR

  PSNR（峰值信噪比，Peak Signal-to-Noise Ratio），用于衡量两张图像之间差异，例如压缩图像与原始图像，评估压缩图像质量；复原图像与ground truth，评估复原算法性能等。

公式：$$\mathrm{PSNR}=10\times lg\left(\frac{{\mathrm{MaxValue}}^2}{\mathrm{MSE}}\right)$$

  其中，$\mathrm{MSE}$ 为两张图像的均方误差；$\mathrm{MaxValue}$ 为图像像素可取到的最大值，例如 8 位图像为 $2^8-1=255$ 。

代码：

# 直接调库
from skimage.measure import compare_psnr

compare_psnr(img1, img2, 255)

'''
2022-7-28: 更新
skimage.measure.compare_psnr has been moved to skimage.metrics.peak_signal_noise_ratio
'''
from skimage.metrics import peak_signal_noise_ratio as compare_psnr
compare_psnr(img1, img2, data_range=255)

# 自己实现
import numpy as np

def compare_psnr(img1, img2, maxvalue):
	'''
	一般 opencv 读图是 uint8, 漏掉转数据格式会导致计算出错;
	有些代码会在 mse==0 的时候直接返回 100, 但很明显 psnr 并没有最大值为 100 的说法,
	通常也不会算两张相同图像的 psnr, 干脆和 skimage 一样不写 mse==0 的情况
	'''
    img1, img2 = img1.astype(np.float64), img2.astype(np.float64)
    mse = np.mean((img1 - img2) ** 2)
    return 10 * np.log10((maxvalue ** 2) / mse)

意义：
  PSNR 最小值为 0，PSNR 越大，两张图像差异越小；
  PSNR 计算简单，物理意义清晰，但是，这种基于 MSE 的评价指标并不能很好的按人眼的感受来衡量两张图像的相似度，例如 SSIM 论文中的图：

  意思就是5种不同变换后的图像与原图 MSE 相同，即 PSNR 也相同，但是 SSIM 不同，可以类似人的感受评估图像相似性。
  验证一下，保存了论文中的6幅图像计算 PSNR，毕竟不是完全在原图上计算的，不过 PSNR 的差异也确实不大：
psnr(a,b) = 22.8197
psnr(a,c) = 24.6104
psnr(a,d) = 23.6994
psnr(a,e) = 22.9966
psnr(a,f) = 24.6628

2. SSIM

  SSIM（结构相似性，Structural Similarity）基于人眼会提取图像中结构化信息的假设，比传统方式更符合人眼视觉感知。

公式：$$\mathrm{SSIM}(\mathbf{x},\mathbf{y})=[l(\mathbf{x},\mathbf{y}){]}^{\alpha }\cdot [c(\mathbf{x},\mathbf{y}){]}^{\beta }\cdot [s(\mathbf{x},\mathbf{y}){]}^{\gamma }$$

SSIM由三个部分组成，$\alpha ,\beta ,\gamma >0$，用于调整三个部分的比重

  $l(\mathbf{x},\mathbf{y})=\frac{2{\mu }_x{\mu }_y+C_1}{{\mu }_x^2+{\mu }_y^2+C_1}⟶亮度$

  $c(\mathbf{x},\mathbf{y})=\frac{2{\sigma }_x{\sigma }_y+C_2}{{\sigma }_x^2+{\sigma }_y^2+C_2}⟶对比度$

  $s(\mathbf{x},\mathbf{y})=\frac{{\sigma }_{xy}+C_3}{{\sigma }_x{\sigma }_y+C_3}⟶结构$

其中，$C_1=(K_{1}L{)}^2$，$C_2=(K_{2}L{)}^2$，用于规避分母为0的情况，
$L$ 等价于 PSNR 中的 $\mathrm{MaxValue}$，$K_1,K_2\ll 1$ 是很小的常数，默认 $K_1=0.01$，$K_2=0.03$。

论文中设置 $\alpha =\beta =\gamma =1$ 和 $C_3=C_2/2$ 来简化公式：

  $\mathrm{SSIM}(\mathbf{x},\mathbf{y})=\frac{\left(2{\mu }_x{\mu }_y+C_1\right)\left(2{\sigma }_{xy}+C_2\right)}{\left({\mu }_x^2+{\mu }_y^2+C_1\right)\left({\sigma }_x^2+{\sigma }_y^2+C_2\right)}$

  均值： ${\mu }_x=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{x}_i$

  标准差：${\sigma }_x={\left(\frac{1}{N-1}\sum _{i=1}^N{\left(x_i-{\mu }_x\right)}^2\right)}^{1/2}$

  协方差：${\sigma }_{xy}=\frac{1}{N-1}\sum _{i=1}^N\left(x_i-{\mu }_x\right)\left(y_i-{\mu }_y\right)$

代码：

from skimage.measure import compare_ssim

'''
compare_ssim(X, Y, win_size=None, gradient=False, 
			 data_range=None, multichannel=False, 
			 gaussian_weights=False, full=False, **kwargs)
			 
-------- Parameters --------
X, Y : ndarray
	   任意维度图像
win_size : int or None
gradient : bool, optional
		   是否返回关于Y的梯度
data_range : float, optional
			 输入图像数据范围(MaxValue), 默认情况根据图像数据类型估计
multichannel : bool, optional
			   if True, 则将数组的最后一个维度视为通道, 
			   对每个通道独立进行相似度计算, 然后取平均值。
gaussian_weights : bool, optional
				   if True, 则每个patch的均值和方差由宽度为 sigma=1.5 的归一化高斯核在空间上加权。
full : bool, optional
	   if True, 返回原图大小的ssim而不是均值
	   
-------- Other Parameters --------
use_sample_covariance : bool, default=True
						if True, 则通过 N-1 而不是 N 对协方差进行归一化,
						其中 N 是滑动窗口内的像素数。
K1 : float, default=0.01
K2 : float, default=0.03
sigma : float, default=1.5
		gaussian_weights=True 时的 sigma
		
-------- Returns --------
mssim : float
grad : ndarray
	   X 和 Y 之间结构相似指数的梯度。
	   仅在 gradient=True 时返回
S : ndarray
	完整的 ssim 图像
	仅在 full=True 时返回
'''
ssim = compare_ssim(img1, img2, win_size=11, data_range=255, multichannel=True)

意义：
  $\mathrm{SSIM}\le 1$，SSIM 越大，两张图像越相似。

  但是 PSNR 和 SSIM 都只适合画面复杂度低或完全对齐的图像，例如下图是同一地点的不同时期卫星图像及其重叠显示，对人眼来说相似度高，但由于没对齐导致 SSIM 很低。