1 什么是随机游走random walk？

随机游走是由一系列随机步骤组成的随机过程。

随机游走SN=每个连续随机步骤Xi的和。
也就是说在N次游走时的位置SN是由第一次、第二次…第N-1次游走之后再加上此次游走之后的位置得到的。

也可以写成：

这意味着，下一个状态SN只依赖于当前状态SN-1与过渡XN，这也是马尔可夫链的主要性质。

2 随机游走与布朗运动的区别是什么？

随机游走的步长可以是固定的，也可以是变化的。如果步长服从高斯分布（正态分布），那么随机游动就变成了布朗运动。

布朗随机游动的方差可以写成如下形式：也即方差随着时间t不断增加。

二维布朗运动：具有高斯步长分布的随机游动：
因此，布朗运动B(t)本质上服从均值为零、方差随时间变化的正态分布。

B(t) ∼ N(0, σ2(t))

一个扩散过程可以看作是一系列的布朗运动，并且该运动服从高斯分布。因此，标准扩散通常被称为高斯扩散。如果每一步的运动不是高斯分布的，则扩散称为非高斯扩散。如果步长服从其他分布，我们就必须处理更广义的随机游动。一种非常特殊的情况是，当步长服从L‘evy分布时，这种随机游走被称为L’evy飞行或L‘evy游走。

3 什么是利维游走 L’evy Flight（or L´evy walk）？

广义上说，L‘evy飞行是一种随机游走，其步长来自于L’evy分布，从数学上讲，L‘evy分布的一个简单版本可以定义为：
其中u是最小步长且u>0，γ是一个比例参数，并且当s→∞时，我们有：

从 • 开始的50步利维游走，图像如下

4 利维游走与布朗运动的区别？

在探索未知的、大规模的搜索空间方面，L‘evy flight比布朗随机游动更有效。有很多原因可以解释这种效率，其中之一是由于L‘evy flight的与布朗运动在方差方面的差异：
L‘evy flight的方差满足下式：

比布朗随机游动的线性关系(即σ2(t)∼t)增长得要快得多。

5 满足利维分布的随机数的生成步骤

具有L‘evy flight的随机数的生成包括两个步骤：
1、随机方向的选择
2、生成服从所选择的L’evy分布的步长

对于随机方向的选择是较为简单的，方向的生成应该从均匀分布中得出。但是步长的得出却是十分棘手的，这里使用最广泛的是曼特格纳算法Mantegna’s algorithm来获取步长s。

步长s可以由下式计算：

其中：
研究表明，L‘evy飞行可以在不确定的环境下提高资源搜索的效率。

6 关于马尔可夫链

我们前面讨论过的一个简单的随机游动都可以看作是一个马尔可夫链。简单地说，如果从t时刻的状态ζt=Si到另一个状态ζt+1=Sj的转移概率仅依赖于当前状态ζt，则这个随机变量ζ是一个马尔可夫过程。

马尔可夫链（Markov Chain, MC）,描述的是状态转移的过程中,当前状态转移的概率只取决于上一步的状态,与其他步的状态无关。简单来说就是当前的结果只受上一步的结果的影响。
因此，一个随机游走就是一个马尔可夫链。