一、插入排序：INSERTION-SORT

1、适用范围：

 which is an efficient algorithm for sorting a small number of elements.

对于少量元素的排序，插入排序是一种高效的算法。

2、原理：

Insertion sort works the way many people sort a hand of playing cards. We start with an empty left hand and the cards face down on the table.

We then remove one card at a time from the table and insert it into the correct position in the left hand.

To find the correct position for a card, we compare it with each of the cards already in the hand, from right to left,

插入排序原理和玩纸牌一样，我们原本左手中没有牌，牌都在桌子上放着，我们从桌子上取出一张牌，并插入到左手中。

第一次插入为直接插入，因为此时我们手中没牌，等到第二次插入时，我们和第一次插入的牌比较，将大的放在右边，小的放在左边。

第三次插入则是将从桌子上取的牌，和手中的每一张牌以从右往左的顺序比较，将牌插入到合适的位置。

3、插入排序伪代码：

说明：j代表索引，此处索引从1开始，而非0，插入时从第二个数字开始插入；

      循环不变式（上述插入排序的不变式为A[1..j-1]）：用于帮助理解算法正确性，必须证明其三个性质：

               （1）、初始化：即循环不变式在第一次迭代之前，应该是正确的；如上述插入排序，初始化时，A[1..j-1]为A[1]，已排好序。
               （2）、保持：在循环的某一次迭代开始之前不变式是正确的，那么下一次迭代开始之前，应该也是正确的；如上述插入排序，每次迭代，A[1..j-1]都是已排序好的子数组。
               （3）、循环结束时，是否达到要求的排序或者其他效果；如上述插入排序，循环结束时，A[1..j-1]就是整个已经排好序的数组。

习题：

  2.1-1 以图2-2模型为例，说明插入排序在数组A=[31,41,59,26,41,58]上的执行过程。

  2.1-2 重写Insert-sort，使之按照非升序（而非非降序）排序

 INSERT_SORT (A)

for j =2  to A.length //对第二个数开始之后的数字循环

     key = A[j];//将当前循环的数字赋值给临时key变量

     i = j-1;//得到已排好序的子数组的最大边界

     while(i>0 and A[i]<key) //拿当前循环的数字key和每一个已排序数组的数字比较，非升序则是已排序好的数组中只要比key小，都和key的位置调换。

         A[i+1] = A[i];//移动已排序好的数组中被比较的数字到当前循环数字的位置（其位置逐个位置变动）

         i--;//

     A[i+1]=key;//将key放置到最终合适的位置上。

2.1-3  考虑下面的查找问题

 输入：一列数A=(a, a2,..., an)和一个值v。

 输出：下标i，使得v=A[i]，或者当v不在A中出现时为NIL。

 写出针对这个问题的线性查找的伪代码，它顺序的扫描整个序列以查找v，利用循环不变式证明算法的正确性。确保所给出的循环不变式满足三个必要的性质。

伪代码（可能不符合标准，但基本意思表达）：

String res = NIL;

for i=0 to A.length

   if(A[i] == v) res += i;;

print res;

初始化：一开始比较之前，res为NIl，符合要求。

保持：在循环比较时，每次比较，当前循环的数组元素若和v相等则会输出，不等则不对res做操作（仍未NIL），符合要求。

结果：当循环结束时，res里保存了和v相等的所有数组元素的下标值，若全部不等则仍未NIl，符合。

2.1.4

有两个各存放数组A和B的n位二进制数，考虑他们的相加问题，两个整数的和以二进制形式存放在具有n+1个元素的数组C中，请给出这个问题的形式化描述，并写出伪代码。。

 解答：

 carry = 0; //进位值

  for i =0 to n

    temp = A[i]+B[i]+carry;//保存相同位数相加的结果

    C[i] = temp %2; //取余

    carry = temp /2;//取整

C[n+1] = carry;//C的最高位即是最后一次进位值