题目描述

上图给出了一个数字三角形。

从三角形的顶部到底部有很多条不同的路径。

对于每条路径，把路径上面的数加起来可以得到一个和，你的任务就是找到最大的和。

路径上的每一步只能从一个数走到下一层和它最近的左边的那个数或者右边的那个数。

此外，向左下走的次数与向右下走的次数相差不能超过 1。

输入格式
输入的第一行包含一个整数 N，表示三角形的行数。
下面的 N 行给出数字三角形。
数字三角形上的数都是 0 至 100 之间的整数。

输出格式
输出一个整数，表示答案。

输入样例
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

输出样例
27

数据范围
1 ≤ N ≤ 100

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题解一（超时）
DFS：官网可得 50% 的分数

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int n;
int ans;
int g[110][110];

void dfs(int x, int y, int l, int r, int sum)
{
    if(x == n)
    {
        if(abs(l - r) <= 1) ans = max(ans, sum);
        return;
    }
    
    dfs(x + 1, y, l + 1, r, sum + g[x + 1][y]);
    dfs(x + 1, y + 1, l, r + 1, sum + g[x + 1][y + 1]);
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= i; j ++)
            cin >> g[i][j];
            
    dfs(1, 1, 0, 0, g[1][1]);
    
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

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题解二
动态规划：

f[i][j]：从 [1, 1] 走到 [i, j] 的最大路径总和；

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

const int N = 110;

struct Node 
{
    int v, l, r;
}f[N][N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= i; j ++)
            cin >> f[i][j].v;
            
    for (int i = 2; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= i; j ++)
            if(f[i - 1][j - 1].v > f[i - 1][j].v)
            {
                f[i][j].v += f[i - 1][j - 1].v;
                f[i][j].l = f[i - 1][j - 1].l;
                f[i][j].r = f[i - 1][j - 1].r + 1;
            }
            else
            {
                f[i][j].v += f[i - 1][j].v;
                f[i][j].l = f[i - 1][j].l + 1;
                f[i][j].r = f[i - 1][j].r;
            }
            
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        if(abs(f[n][i].l - f[n][i].r) <= 1)
            ans = max(ans, f[n][i].v);
            
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

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题解三
动态规划 && 找规律：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 110;

int n;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= i; j ++)
            cin >> f[i][j];
            
    for (int i = 2; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= i; j ++)
            f[i][j] += max(f[i - 1][j - 1], f[i - 1][j]);

    if(n % 2) cout << f[n][n / 2 + 1] << endl;
    else cout << max(f[n][n / 2 + 1], f[n][n / 2]) << endl;
    return 0;
}

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蓝桥杯C/C++组省赛历年题