任意实信号x(t)，及其扩展函数，绝对值|x(t)|和平方x^2(t)。如果是个电压或电流信号，我们可以得到能量Energy和功率Power的相关定义。如任意时间段的总能量，瞬时功率，平均功率等。

而x(t)存在傅里叶变换的充分条件为，x(t)满足绝对积分（absolute integratable）且有有限个间断点。在频域存在着等效的表达式X(jω)。同时包含着幅度谱和相位谱。即存在傅里叶变换对，满足时域和频域的相互转换，且二者是等价的
在存在傅里叶变换的条件下，根据帕萨瓦尔（Parseval）定理，我们知道同样有着能量守恒的关系，如图2所示。其中傅里叶变换|X(jω)|^2可以称之为信号x(t)的能量谱密度（Energy Spectrum Density，ESD）。利用极限的概念，有信号x(t)的功率谱密度Sx(f)的定义

在物理实际中，我们碰到的很多噪声信号可近似为宽平稳随机过程（wide-sense stationary process）。有信号自相关函数的定义

维纳-辛钦定理（wiener khinchin theorem）揭示了自相关函数和信号的功率谱密度的关系，如图4所示。信号x(t)的自相关函数和功率谱密度函数互为傅里叶变换对。并且当τ=0时，功率谱密度Sx(f)的频域积分为Rx(0)，可以看做x(t)的平均功率如图3所示。当然还有更特殊的case，如果信号x(t)均值为零，那么Rx(0)还可以看做x(t)的方差（variance），这是一个比较特殊的结论

对于功率谱密度，我们最熟悉的莫过于噪声的PSD。例如热噪声，闪烁（1/f）噪声，散粒（shot）噪声。不同的噪声类型的PSD不一样。在电路中我们经常考虑在1单位电阻上的功率谱密度，所以在表示噪声的功率谱密度是经常使用V^2/Hz的单位。其实比较符合PSD定义的单位还是W/Hz。也有转化为对数坐标的dBm/Hz等。

当然扩展一下，在电学以外，比如振动力学中研究随机振动，会有位移PSD，速度PSD，加速度PSD，单位分别表示为m^2/Hz,(m/s)^2/Hz，(m/s^2)^2/Hz或者g^2/Hz。看来能够研究的随机变量或信号都可以有PSD的概念。想想也是，其实就是把一些随机过程转化到频域通过PSD研究其确定性性质。

所以在你碰到像表示相位的功率谱密度时用到的rad^2/Hz单位时，也就不会觉得别扭了。图6中表格把一些经常用到的单位列了出来。比如dBm的单位，在射频中大多是50欧姆的阻抗匹配的条件，对应0dBm就是约为223mV的电压幅度

实信号的PSD分布通常关于频率0左右偶对称。这样的正负频率范围的功率谱密度称之为“双边”（Two-Side）PSD。当然我们也可以仅用正频率范围表示，这时候称之为“单边”（One-Side）PSD。如图7所示。

如果“单边”PSD关于某频率f0左右对称，如果把该频率平移至频率0Hz处，这种功率谱我们称之为“单边带”（Single sideband）PSD。对于SSB PSD，我们可以进一步简化为仅用正频率表示。这时候称之为“双边带”（Double Sideband）PSD。

注意功率谱幅度的变化，将“双边”转化为“单边”时，功率谱密度需要加倍，也就是增加3dB。而从“单边”转化为“单边带”时，仅仅是载波频率的平移，幅度功率谱幅度并不改变。而从“单边带”转化为“双边带”时，功率谱密度也需要增加3dB。

前边叙述的幅度功率谱密度引申到相位噪声上，同样有相位功率谱密度的概念，也就是单位为rad^2/Hz。那么相位功率谱密度Sφ(fφ)(fφ=f-fc，相位PSD可简写为Sφ(f))与幅度功率谱密度Sx(f)是什么关系那？

在比较小的相位抖动（small phase fluctuation，|φe(t)|

对于包含n次谐波成分的相位噪声功率谱和对应的n次谐波的频谱的关系如图9所示

好了，这期内容就这么多了，关于功率谱密度的内容，很多定义都容易把人绕晕，以上的内容可能我的理解也不是太全面。还是希望大家能够多对比，去伪存真，能够正确的理解和掌握才是关键。

来源：不忘初心的模拟小牛牛公众号(想看原文，可以自己找找，我没有找到，哈哈哈哈）

 

功率谱: 功率谱密度(PSD)、功率谱(PS)

记得以前有本书，喜欢把PSD简称为功率谱，后来一段时间老是搞不清楚，

在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density, PSD）或者谱功率分布（spectral power distribution, SPD）。功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（W/nm）来表示。

总之，PSD的单位是带有Hz的，而PS不带,它表示平常意义上的功率(特定频率下的)，最简单的估计就是PS/BW，你就能得到PSD了，这是最为普通的PSD估计方法。