二、Jordan标准形、初等因子、不变因子
二、Jordan标准型、 smith标准型、初等因子、不变因子
二、Jordan标准形、初等因子、不变因子
1. smith标准型
定义
1.最高次幂系数为1
2.d ( λ i ) 能够整除d ( λ i + 1 )
3.λ矩阵的smith标准型是唯一的
2. 求smith标准型----初等行变换（不改变矩阵的行列式因子和不变因子）
3. 行列式因子、不变因子、初等因子
k阶行列式因子: A (λ)中的所有非零的k阶子式的首一最大公因式 D k ( λ ) D_{k}(λ) Dk(λ) (首一：最高次数项系数为1)
其中： d 1 ( λ ) = D 1 ( λ ) ； d k ( λ ) = D k ( λ ) / D k − 1 ( λ ) , k = 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , r d_{1} (λ) = D_{1} (λ)；d_{k} (λ) = D_{k} (λ) /D_{ k-1}(λ), k = 2, · · · , r d1(λ)=D1(λ)；dk(λ)=Dk(λ)/Dk−1(λ),k=2,⋅⋅⋅,r
不变因子：smith标准型对角线上元素 d k ( λ ) d_{k}(λ) dk(λ)，即上例中的 1 ， λ ， λ 2 + λ 1， λ ，λ^2+λ 1，λ，λ2+λ
初等因子：把𝜆–矩阵𝐴 (𝜆)的每个次数≥1的不变因子 d k ( λ ) d_{k}(λ) dk(λ)在复数域上分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）----就是不变因子的因式分解（不懂看下面例子）
例题解释下几个因子：
注意：这里的几个因子是针对A(λ)的，就是λE−A所得的矩阵 不要跟A矩阵性质搞混淆了（只有数字的矩阵）
下面例子可以总结出最大阶数的行列式因子就是|A(λ)|，这个可以作为一个显然的结论
4.Joradn标准形：
Jordan块
根据初等因子的阶数和零点唯一确定，即以下初等因子分别为：
(
λ
−
2
)
2
,
(
λ
+
i
)
3
,
λ
4
(\lambda-2)^{2}, (\lambda+i)^{3}, \lambda^{4}
(λ−2)2,(λ+i)3,λ4
Jordan标准形定义
5. 最后求Jordan标准型的例子
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