问题描述

 有n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船，其中集装箱i的重量为wi，且
          

$$\sum _{i=1}^n{w}_i\le c_1+c_2$$

问题:
 是否有一个合理的装载方案,可将这n个集装箱装上这2艘轮船?如果有，找出一种装载方案。

例如：当n=3, c1=c2=50

（1）若w=[10, 40, 40]

   可将集装箱1和集装箱2装上第一艘轮船，而将集装箱3装上第二艘轮船；

（2）如果w=[20, 40, 40]

   则无法将这3个集装箱都装上船；

基本思路

已证明，如果一个给定装载问题有解，则采用下面的策略可得到最优装载方案。

1. 首先将第一艘轮船尽可能装满；
2. 将剩余的集装箱装上第二艘轮船。

  将第一艘轮船尽可能装满等价于选取全体集装箱的一个子集，使该子集中集装箱重量之和最接近c1。由此可知，装载问题等价于以下特殊的0-1背包问题。

队列式分支限界法

• 解装载问题的队列式分支限界法仅求出所要求的最优值，稍后进一步构造最优解。
• 首先检测当前扩展结点的左儿子结点是否为可行结点。如果是，则将其加入到活结点队列Q中。
• 然后，将其右儿子结点加入到活结点队列中(右儿子结点一定是可行结点)。2个儿子结点都产生后，当前扩展结点被舍弃。
• 活结点队列中，队首元素被取出作为当前扩展结点。
• 活结点队列已空，算法终止。

例子

例如 n=4, c1=12, w=[8, 6, 2, 3].

注：叶子结点不会被扩展，因此不用加入到活结点队列当中，此时，只需要检查该叶节点表示的最优解是否优于当前最优解，并实时更新当前最优解。

同层尾部标记：-1

活结点队列：
当取出的元素是-1时，判断当前队列是否为空，如果队列不空，则将尾部标记 -1加入到活节点队列中，代表算法开始处理下一层活节点，即：代表算法开始处理 下一个物品的装载问题（每一层i开始处理第i个物品的装载）。

代码(伪代码)

emplate<class Type>
Type MaxLoading(Type w[], Type c, int n)
{ //初始化
Queue<Type>Q; //  活结点队列
Q.Add(-1);  // 同层结点尾部标志
int i=1; //当前扩展结点所处的层
Type Ew=0; //扩展结点处相应的载重量
         bestw=0;
//搜索子集空间树
while (true) {
      // 检查左儿子结点
      if (Ew + w[i] <= c1) // x[i] = 1，Ew存储当前扩展结点相应的载重量
      EnQueue(Q, Ew + w[i], bestw, i, n); //将活结点加入到活结点队列Q中
      // 右儿子结点总是可行的，将其加入到Q中
      EnQueue(Q, Ew, bestw, i, n); // x[i] = 0
      Q.Delete(Ew);     // 取下一扩展结点
      if (Ew == -1) {      // 同层结点尾部
         if (Q.IsEmpty( )) return bestw;
         Q.Add(-1);        // 同层结点尾部标志
         Q.Delete(Ew);  // 取下一扩展结点
         i++;}                 // 进入下一层     
        }
  }

算法的改进

  算法MaxLoading初始时bestw=0，直到搜索到第一个叶结点才更新bestw。在搜索到第一个
叶结点前，总有Ew+r>bestw, 此时右子树测试不起作用。
  为确保右子树成功剪枝，应该在算法每一次进入左子树的时候更新bestw的值。

样例

分析演示

代码改进(伪代码)

while (true) {
      // 检查左儿子结点
      // wt=Ew + w[i];   // 左儿子结点的重量
      if (wt<= c) {     // 可行结点
         if (wt > bestw) bestw = wt;   //提前更新bestW,注意更新条件
         // 加入活结点队列
         if (i <= n) Q.Add(wt);
  	 }
     // 检查右儿子结点
      if (Ew + r > bestw && i <= n)   //右儿子剪枝
          Q.Add(Ew);     // 可能含最优解
      Q.Delete(Ew);     // 取下一扩展结点
      if (Ew == -1) {      // 同层结点尾部
         if (Q.IsEmpty()) return bestw;
         Q.Add(-1);        // 同层结点尾部标志
         Q.Delete(Ew);  // 取下一扩展结点
         i++;
         r-=w[i];}                 // 进入下一层      
 	}  
 }

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef struct QNode
{
    QNode *parent;
    int lchild;
    int weight;
}QNode;
int n;
int c;
int bestw;
int w[100];
int bestx[100];
void InPut()
{
    scanf("%d %d", &n, &c);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d", &w[i]);
//    for(int i = 1; i <= n; ++i)
//        printf("%d ", w[i]);
//    cout << endl;
//    printf("输入结束\n");
}
//QNode *&bestE 的原因是 首先bestE是个地址， 其次引用为了赋值使用, 后边for循环中用到
void EnQueue(queue<QNode *> &q, int wt, int i, QNode *E, QNode *&bestE, int ch)
{
    if(i == n)
    {
        if(wt == bestw)
        {
            bestE = E;
            bestx[n] = ch;
            return;
        }
    }
    QNode *b;
    b = new QNode;
    b->weight = wt;
    b->lchild = ch;
    b->parent = E;
    q.push(b);
}
int MaxLoading()
{
    queue<QNode *>q;
    q.push(0);
    int i = 1;
    int Ew = 0, r = 0;
    bestw = 0;
    for(int j = 2; j <= n; ++j)
        r += w[j];
    QNode *E, *bestE; //bestE的作用是：结束while循环后，bestE指向最优解的叶子节点，然后通过bestE->parent找到装入了哪些物品。
    E = new QNode; //E这里作为一个中间量，连接parent和child
    E = 0;         //赋0是因为树的根的值是0，while刚开始的时候其代表root
    while(true)
    {
        int wt = Ew + w[i];
        if(wt <= c)
        {
            if(wt > bestw)   //提前更新bestW,注意更新条件
                bestw = wt;
            EnQueue(q, wt, i, E, bestE, 1);
        }
        if(Ew + r >= bestw)   //右儿子剪枝
        {
            EnQueue(q, Ew, i, E, bestE, 0);    
        }
        E = q.front();
        q.pop();
        if(!E)    //如果取得的数是0，代表该处理下一层
        {
            if(q.empty())   //如果队列为空，表示该循环结束了
                break;
            q.push(0);     //如果队列中还有数据，表示循环还没结束。在该层的末尾加一个0标识符
            E = q.front();
            q.pop();
            i++;     //下一层走起
            r -= w[i];   //计算剩余的重量
        }
        Ew = E->weight; //不要忘记更新最新节点的值
    }
    for(int j = n - 1; j > 0; --j)
    {
        bestx[j] = bestE->lchild;
        bestE = bestE->parent;
    }
}
void OutPut()
{
    printf("最优装载量为 %d\n", bestw);
    printf("装载的物品为 \n");
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        if(bestx[i] == 1)
          printf("%d ", i);
}
int main()
{
    InPut();
    MaxLoading();
    OutPut();
}

样例测试

数据为上面那个样例

输入
4 12
8 6 2 3

输出
最优装载量为 11
装载的物品为
1 4

优先队列式分支限界法

• 解装载问题的优先队列式分支限界法用最大优先队列存储活结点表。
• 活结点x在优先队列中的优先级定义为从根结点到结点x的路径所相应的载重量Ew(即：当前扩展结点船的载重量Ew)再加上剩余集装箱的重量r之和（即：将上界Ew+r定义为结点优先级）。
• 优先队列中优先级最大的活结点成为下一个扩展结点。
• 子集树中叶结点所相应的载重量与其优先级（上界值）相同，即：该叶子结点的上界值等于当前叶子结点处船的重量Ew。
• 在优先队列式分支限界法中，一旦有一个叶结点成为当前扩展结点，则可以断言该叶结点所相应的解即为最优解。此时可终止算法。

求最优解

• 在优先队列的每一个活结点中，保存从解空间树的根结点到该活结点的路径，在算法确定了达到最优值的叶结点时，就在该叶结点处同时得到相应的最优解。
• 在算法的搜索进程中，保存当前已构造出的部分解空间树，这样在算法确定了达到最优值的叶结点时，可以在解空间树中从该叶结点开始向根结点回溯，构造出相应的最优解。

样例

分析演示

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
class MaxHeapQNode
{
public:
    MaxHeapQNode *parent;  //父节点
    int lchild;    //左节点:1; 右节点"0
    int weight;    //总重量
    int lev;       //层次
};
struct cmp
{
    bool operator()(MaxHeapQNode *&a, MaxHeapQNode *&b) const
    {
        return a->weight < b->weight;
    }
};
int n;
int c;
int bestw;
int w[100];
int bestx[100];
void InPut()
{
    scanf("%d %d", &n, &c);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d", &w[i]);
}
void AddAliveNode(priority_queue<MaxHeapQNode *, vector<MaxHeapQNode *>, cmp> &q, MaxHeapQNode *E,  int wt, int i, int ch)
{
    MaxHeapQNode *p = new MaxHeapQNode;
    p->parent = E;
    p->lchild = ch;
    p->weight = wt;
    p->lev = i + 1;
    q.push(p);
}
void MaxLoading()
{
    priority_queue<MaxHeapQNode *, vector<MaxHeapQNode *>, cmp > q; // 大顶堆
    //定义剩余重量数组r
    int r[n + 1];
    r[n] = 0;
    for(int j = n - 1; j > 0; --j)
        r[j] = r[j + 1] + w[j + 1];
    int i = 1;
    MaxHeapQNode *E;
    int Ew = 0;
    while(i != n + 1)
    {
        if(Ew + w[i] <= c)
        {
            AddAliveNode(q, E, Ew + w[i] + r[i], i, 1);
        }
        AddAliveNode(q, E, Ew + r[i], i, 0);

        //取下一节点
        E = q.top();
        q.pop();
        i = E->lev;
        Ew = E->weight - r[i - 1];
    }
    bestw = Ew;
    for(int j = n; j > 0; --j)
    {
        bestx[j] = E->lchild;
        E = E->parent;
    }
}
void OutPut()
{
    printf("最优装载量为 %d\n", bestw);
    printf("装载的物品为 \n");
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        if(bestx[i] == 1)
          printf("%d ", i);
}
int main()
{
    InPut();
    MaxLoading();
    OutPut();
}

样例测试

数据为上面那个样例

输入
4 12
8 6 2 3

输出
最优装载量为 11
装载的物品为
1 4