瑞利-贝纳尔对流（Rayleigh–Bénard convection）

由对流现象说开去，不难看出，对流实际上来自系统复杂的空间组织，数以亿万计的分子协调一致地运动，形成了具有某些特征尺寸的六角形对流胞，从结构角度，显然是从一个没有结构的一层液体，突然出现一个规则的动态结构——对流胞的结构，表明了非平衡突变的突出特征。，所以流出的熵大，流入的熵小，如果流走的熵量超过了系统内部熵的产生，可以导致系统内熵的减少。并且，瑞利数越大，促进了不稳定的因素，为对流的形成创造有利条

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teengad · 2022-08-20 10:41:18 发布

1. 热的传输方式

早在中学的物理学教科书中，我们就知道热的传输有三种方式，即：传导（不牵涉物质的流动）；对流（对于流体来说，有可能用对流的方式来作为热的传输）与辐射（辐射可以通过真空来传热）。

对流问题，似乎为人们所忽略，在大学物理中几乎没有地位，这并不公平，因为就原则而言，对流问题还是有其重要性的。

2. 瑞利-贝纳尔对流（Rayleigh–Bénard convection）

“对流”由静到动，在浑然一体之中涌现了规整的图案，现象上引人注目，内含了深刻的道理。为理解热对流的本质，我们不妨来分析一下产生对流的一个最简单的系统：一层液体，上冷下热， $T_{2}>T_{1}$ ：

当上下温差不大时，传热纯属热传导方式；将温度差值逐渐拉开，当温差超过一定限度时，就发生对流现象。20 世纪初叶，贝尔纳（H.Benard）对它进行了实验观测；瑞利（Lord Rayleigh）则对它进行了初步的理论分析。

由实验所表现的对流现象，显示的是一种突变，而不是渐变，给出的结果是加热导致有序，与通常加热导致无序迥异。可以理解，对流的出现与否定决定于不同因素的相互抗衡。靠近下方的一层液体被加热了，由于热胀冷缩，其密度就下降了，所以这一层热的液体受到一向上的浮力。

但是它在运动过程中，又受到流体的黏滞力阻碍它向上运动。即：取决于浮力与黏滞力的平衡，浮力显然与温度差 $\Delta T=T_{2}-T_{1}$ 有关，且与二极间的距离 $d$ 有关，同时顾及热膨胀系数与热扩散系数的影响，具体可求得一个无量纲的瑞利数：

$R=\frac{g\alpha \Delta Td^{3}}{\nu D_{\mathrm{T}}}$

式中， $g$ 为重力加速度， $\alpha$ 为热膨胀系数， $\nu$ 为运动学黏滞系数， $D_{\mathrm{T}}$ 为热扩散系数。

这实际上是一个头重脚轻的液体系统，隐含了不稳定因素，当温度差逐渐拉开，导致瑞利数超过某一临界值 $R_{c}$ （约 1700），即 $R>R_{c}$ ，流体就失去其稳定性，翻动起来，出现对流现象。对流现象刚出现时，非常规则，就像面包卷那样。无可否认，这里的不稳定性具有简单的力学根源，由下面加热液层，液体的较低部分密度减小，头重脚轻，因此，在超越某个临界阈值后，系统由于失去了稳定而发生对流就不足为奇了。

回到瑞利-贝纳尔系。这一体系由于温度梯度，热量从高到低流出去，一定的热量流进来。因为系统热量在不断地流进流出，所以这一系统是与孤立系统迥异的开放系统，它与外界有热交换。并且，瑞利数越大，促进了不稳定的因素，为对流的形成创造有利条件，随着热量的流进流出，熵也在变化，流进的熵与流出的熵不等，流入的熵 $\mathrm{d}Q/T_{2}$ ；流出的熵 $\mathrm{d}Q/T_{1}$ ；由于 $T_{1}<T_{2}$ ，所以流出的熵大，流入的熵小，如果流走的熵量超过了系统内部熵的产生，可以导致系统内熵的减少。而对于熵减少的系统就会出现一些很有意义的现象。我们看到最初液体是一个基本均匀的液体，即从宏观上来看，它是一个均匀的液体，然而当我们从单纯热传导的状态转到热对流与热传导同时出现的状态，即一个均匀的无结构的系统出现了一个动态结构；从流体运动的轨迹来看，其轨迹非常规则，就像面包卷一样，做实验可以很清楚地显示对流轨迹。在自由液面上则可以观察到反映了表面张力梯度效应的非常规则的六角形对流胞，见下图：

3. 表面张力的影响

在自由液体表面与空气接触的情况下，浮力和表面张力效应也将在对流模式的发展中发挥作用。液体从表面张力较低的地方流向表面张力较高的地方。这称为马兰戈尼效应（Marangoni effect）。从下方加热时，顶层的温度会出现温度波动。随着温度的升高，表面张力降低。因此，将在表面发生液体横向流动，从暖地区到冷地区。为了保持水平（或接近水平）的液体表面，较冷的表面液体将下降。较冷液体的这种向下涌出有助于对流单元的驱动力。温度梯度驱动的表面张力变化的特殊情况称为热毛细对流或 Bénard-Marangoni 对流。

4. 历史和命名

1870 年，开尔文勋爵的哥哥、爱尔兰-苏格兰物理学家兼工程师詹姆斯·汤姆森（James Thomson，1822-1892 年）观察到浴缸中的水冷却；他指出，水面上的肥皂膜被分开，就好像表面已经平铺（镶嵌）一样。1882 年，他证明镶嵌是由于对流细胞的存在。1900 年，法国物理学家亨利·贝纳德（ Henri Bénard，1874-1939）独立得出了同样的结论。1916 年，瑞利勋爵（1842-1919）首次成功地分析了这种对流模式，其影响仅由温度梯度引起。瑞利假设的边界条件是垂直速度分量和温度扰动在顶部和底部边界处消失（完美热传导）。这些假设导致分析与亨利·贝纳德的实验失去任何联系。这导致了理论和实验结果之间的差异，直到 1958 年 John Pearson（1930–）根据表面张力重新研究了这个问题。这是贝纳德最初观察到的。尽管如此，在现代用法中，“Rayleigh-Bénard convection”是指温度造成的影响，而“Bénard-Marangoni convection”专门指表面张力的影响。Davis 和 Koschmieder 建议将对流正确地称为“Pearson-Bénard convection”。

Rayleigh–Bénard convection有时也称为“Bénard–Rayleigh convection”、“Bénard convection”或“Rayleigh convection”。

5. 对流中的耗散结构

当然，以上的讨论只是说明了会出现不稳定性，但为什么形成规则的对流图案呢？有一点很明确，相对于原先没有花纹图案的均匀液体，这是一种对称破缺。流体力学的非线性方程中包含着产生对称破缺的可能性，各种可能的花纹图案还有稳定性的竞争。在瑞利-贝纳尔体系中，若瑞利数的数值继续增大，将会出现花纹图案的更替和周期运动，最终导致湍流的出现。

对流要求相干性，要求大量分子的合作。由对流现象说开去，不难看出，对流实际上来自系统复杂的空间组织，数以亿万计的分子协调一致地运动，形成了具有某些特征尺寸的六角形对流胞，从结构角度，显然是从一个没有结构的一层液体，突然出现一个规则的动态结构——对流胞的结构，表明了非平衡突变的突出特征。普里戈金于 1969 年概括这类非平衡突变中出现的自组织的有序结构为“耗散结构”，因为这一定是出现在能量耗散的系统，与平衡结构相对比，这些物理结构或化学结构要求有更多的能量来维持它们。很明显，耗散结构需要远离平衡的条件。“耗散结构”的概念强调了初看上去是悖理的两方面之间的密切联系，一方面是结构和有序，另一方面则是耗散或浪费。我们已看到，在经典热力学中，热的传输被认为是一个耗散或浪费。我们已看到，在经典热力学中，热的传输被认为是一个浪费的源泉，但在对流胞中，热的传输变成了一个有序的源泉。由此可以想见，嵌入非平衡条件之中的系统和外部世界的相互作用，可能成为形成物质的新动力学态——耗散结构的起点。耗散结构对应于某种时空有序状态，破坏了系统原来的对称性，实际上相当于一种超分子组织的形式，是产生它们的那个全局性非平衡状况的一种反映。但是也应该指出，耗散结构显然缺乏平衡态有序结构（如晶体结构）的稳定性。容器的形状、边界条件及干扰波矢，都会对它产生重要的影响，而且随着瑞利数（或偏离平衡度）的增大，又会导致新的失稳，终于向具有高度无规性的混沌和湍流（相当于有组织的无序态）过渡。

6. 现实中的相关现象

这一现象在日常生活中也经常可以看到。诸如，沸腾的汤锅，烟囱口的“热风”；天空中，有时会出现许多一块一块很规则的云，这实际上就是对流胞的出现；甚至于现代地球科学的重要支柱——大陆板块的运动也归因于地幔中缓慢的对流胞。

6.1 液体：

有人用平底锅把椰子油加热，竟也神奇地出现了这样的形状。据说用平底锅均匀加热浓稠的米汤，也会出现这样的现象：

有人用平底锅煮鸡蛋，水面上竟出现了六角形蜂巢形状的结构：

6.2 火山岩

在北爱尔兰的巨人岬，在古代火山作用下，玄武岩形成了六边形的石柱：

6.3 太阳米粒结构

太阳的米粒结构也被认为是一种贝纳尔涡流，任何时刻太阳表面都覆盖着约400万个米粒组织，每个米粒的大小约1500公里，寿命约8-20分钟：

6.4 大气对流

大气对流层也是同理，对流会形成一个个云胞，又分“Open” 和“Closed”两种，不过状态特别活跃、多变，跟具体的气象条件有关。天空中偶然也会形成六角形的云团：

夏季多见、造成雷暴天气的积雨云就是局地对流旺盛发展的结果，气象预报常听到“雷雨胞”、“对流胞”、“对流云团”的说法。

这种对流在低纬度地区更加多见，形成范围广大、数量众多的热带云团，经常一个接一个排成队，轻则造成强对流天气，重则发展为台风。每年台风季，中国气象部门对南海到西太平洋的热带云团发展都是密切关注的。如果是下图这样的状态，东南沿海就要严阵以待了。

6.5 土星北极六角形云团

不过最著名的还是土星北极的六角形云团，它的大小相当于两个地球。科学家们一直对它形成的原因莫衷一是，有一种观点认为它也是贝纳尔涡流结构：

6.6 盐湖中的神秘六边形

玻利维亚安第斯山脉山顶的乌尤尼盐沼，是世界上最大的盐沼。它由干涸的史前湖泊形成，现在已经成为全球最受欢迎的旅行目的地之一。

这些史前湖泊存在于大约4万年前，但是随着时间的推移全部蒸发了。现在，乌尤尼盐沼被几米厚的平坦盐壳覆盖着。雨后，一层薄薄的雨水将盐壳变为世界上最大的“天空之镜”。

图日出时分，倒映着山峦的乌尤尼盐沼（图片来源：wiki）

据估计，乌尤尼盐沼含有100亿吨盐。而那里最令人感到惊讶的，是盐壳上布满了神秘的六边形。

图乌尤尼盐沼上结晶的盐形成了六边形（图片来源：wiki）

除了乌尤尼盐沼，美国死亡谷里的恶水盆地也同样经过了数万年的蒸发。盐分随着时间积累，在平坦的地面上形成了由多边形拼凑成的盐壳。

图美国死亡谷的恶水盆地（图片来源：National Park service）

智利阿塔卡马盐沼经过了更快的蒸发过程，所以里面的盐粒比较粗糙。不过它的湖面同样形成了让人迷惑的多边形格子。

事实上，世界上其他盐沼也经常出现这些神秘的多边形，而且它们的形状大小差不多。除了盐沼，我们也会发现泥土干裂或冰层冻裂形成的多边形，但它们的大小往往差异很大。

图干裂的泥土（左）和裂开的冰（右）（图片来源：Freepik）

所以盐沼上的六边形是怎么形成的呢？这引起了很多人的好奇。

物理学家Jana Lasser发现答案藏在地下。通过复杂的数学模型和计算机模拟，他们看到盐壳之下的变化才是决定盐壳形态的关键所在。

盐沼通常形成于降水稀少，而且蒸发量大的地方。当渗透出地表的地下水蒸发，会留下溶解在水中的盐和其他矿物质。

最重要的是，这个过程形成了浓缩的盐脊，将湖泊分成了一个个多边形——大部分是六边形，还有少量五边形或其他形状。

图不同地区盐湖中的盐脊：(a)死亡谷中部盆地，(b)美国欧文斯湖，(c)恶水盆地（图片来源：参考资料[5]）

科学家曾经尝试过用泥土破裂的模型模拟六边形出现的过程，也试过模拟冰层冻胀后破裂的过程，不过都跟这种盐沼上的六边形不太一样。

盐沼中盐的类型各有不同，有些盐沼以氯化钠为主，而其他地区可能亚硫酸盐更多，盐壳的厚度也从几毫米到几米各不相同。

但是不论盐壳是一米还是一毫米厚，盐沼上都有1~2米宽的多边形格子。之前科学家借助泥土破裂的模型模拟盐沼形成的多边形，格子大小会根据盐壳厚度的变化而变化，这与自然现象并不相符。

“地下流体的流动能够解释这些独特图案形成的原因。”Lasser说。

当地下水从地表蒸发时，盐会浓缩在剩余的地下水中。密度更大、更沉的咸水会下沉，迫使密度较小的水向上流动。

Lasser和同事们发现，随着时间的推移，这种对流往往会将下降的咸水推到垂直的片状区域中。这些片状区域的上方会聚集更多的盐，因此那里会形成厚厚的盐脊。中间则由较薄的盐壳组成，这样就自然形成了世界上盐沼共有的多边形。 Logo

图高盐度的水流下沉，形成了狭窄的片状区域，在水面以上就表现为盐脊，进而组成多边形的形状（图片来源：参考资料[5]）

科学家选定的研究区位于美国欧文斯湖。在上世纪20年代，这里的水被引到纽约，导致湖泊干涸，高浓度的盐分以及有害的砷在湖面积累。

为了形成稳定的盐壳，防止砷挥发到空气中随风飘散，人们向盐湖中加了一些盐水。

虽然这片区域的环境被毁，但注入盐水、加厚盐壳的过程给科学家带来了研究“神秘六边形”的绝佳机会。

“物理学不仅仅是坐在电脑前。”Lasser表示，如果没有考虑盐壳之下水的流动，这些模拟将毫无意义。

[1]https://en.wikipedia.org/wiki/Salar_de_Uyuni
[2]https://www.nps.gov/deva/learn/nature/salt-flats.htm
[3]https://www.nps.gov/places/badwater-basin.htm
[4]https://www.sciencenews.org/article/geometric-patterns-salt-flats-worldwide
[5]J. Lasser et al. Salt polygons and porous media convection. Physical Review X. Published online February 24, 2023. doi: 10.1103/PhysRevX.13.011025.

7. 云团形成的流体动力学

为了预言天气和气候模式，气象学家们采用大规模计算的一般环流模型（general circulation models，GCMs）。这些模型采用解方程的方法来描述地球的大气圈如何演变，但它们很难描述一个关键的大气圈特征：云团。

在美国物理学会第 73 届年会的流体力学分会中，云团物理小型研讨会邀请了一系列报告，之后 2022 年 5 月在 Physical Review Fluid 发表了系列论文，讨论了用于云团如何生长及与周围环境相互作用的模型，以及如何降低使用这些模型的不确定度。

有关云团的关注之一是积云形成时与周围的空气、水分的混合或夹带的速率。航空测量的结果表明，描述这一过程最佳的方式是用随时间形成的一系列空气柱模型。每个空气柱，或者热流柱升入更高的大气圈时，会含有更多的水分。然而，模拟环境条件如何影响这些云中的水分吸收，从而影响云的气候效应，已经被证明是非常困难的。瑞典的北欧理论物理研究所的Ravichandran和印度高等科学研究中心的 G. R. Vybhav 展示了生长成积云的干燥和湿热气流的夹带率有何不同。

为了梳理出所携带水量的控制因素，Ravichandran 和 Vybhav 采用数值分析方法，模拟在大气圈中不同温度和密度分布条件下的热流积累。他们采用层流和湍流模型，模拟了干燥和潮湿热流。结果表明，对于密度小而向上漂浮的热流，其携带率更高。这种漂浮的改变可能是因为附近大气圈的水汽凝结，或者不稳定的分层。在潮湿的热流中，这种增强的漂浮导致湍流强度增加。研究人员表明，当初始的干燥热流变为湿热时，湍流对于水的携带更为重要。与前人的研究不同，他们的结论是，湿热流较干燥热流更易导致大型积云的形成。

Ravichandran 和 Rama Govindarajan 的另一项研究解释了国际气象组织于 2017 年确定的一种独特的云类型。糙面云（asperitas）是一种波纹状结构（如同从海水下面看海平面），起源于层状云团经受不同的切变。两人提出不同看法：这种云层的形成是来自于水滴的介入和蒸发而导致的云层失稳。他们的模型表明，在特定水滴大小和大气圈中液态含水量条件下，会形成高密度的空气层从而导致失稳。由小尺度液滴的蒸发驱动的湍流一般情况可以驱散这种云层，然而，当湍流被背景切变所抑制时，由于高密度层在低密度层之上持续存在，当高密度层下降通过下面低密度层时，会产生独特的凹凸结构，从而生成asperitas云层。

在另外一篇论文中，威斯康星大学麦迪逊分校的 Tianhong Huang 和他的同事描述了一种模拟框架，可以用于解释更大空间范围的云团类型分布。然而，将此缩小到气候模型是困难的，会增加这个模型预测的不确定性。研究人员开发了基于云团的模型，云团的大小和形状是可以随机确定的。结果表明，云团会自动演变以适应模拟的网格尺寸，由此可以更容易适应不同的一般模型。这些为针对气候变化模拟中预测云团如何影响气候提供了一种新的可能性。