伴随矩阵A*
伴随矩阵的定义:注意点定义矩阵A是方阵。余子式:伴随矩阵的每个元素的余子式是除去当前元素行列,剩下的元素构成的行列式。代数余子式:取行列式的值,符号由当前行标和列标的值决定(-1的i+j次幂)。位置关系为转置。计算实例:例1:求矩阵A的伴随矩阵,其中行列式An∗n=∣12−1310−1−1−2∣\mathbf{A}_{n*n} =\begin{vmatrix}\mathbf{1} & \m
伴随矩阵的定义:
1. 定义中的注意点
- 定义矩阵A是方阵。
- 余子式:伴随矩阵的每个元素的余子式是除去当前元素行列,剩下的元素构成的行列式。
- 代数余子式:取行列式的值,符号由当前行标和列标的值决定(-1的i+j次幂)。
- 位置关系为转置。
2. 伴随矩阵的计算实例
例1:求矩阵A的伴随矩阵,其中矩阵A的行列式
A n ∗ n = ∣ 1 2 − 1 3 1 0 − 1 − 1 − 2 ∣ \mathbf{A}_{n*n} = \begin{vmatrix} \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{-1} \\ \mathbf{3} & \mathbf{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{-1} & \mathbf{-1} & \mathbf{-2} \\ \end{vmatrix} An∗n=∣ ∣13−121−1−10−2∣ ∣
解答:求解余子式
a11的余子式:
A
11
=
∣
1
0
−
1
−
2
∣
\mathbf{A}_{11} = \begin{vmatrix} \mathbf{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{-1} & \mathbf{-2} \\ \end{vmatrix}
A11=∣
∣1−10−2∣
∣
a11代数余子式:
A
11
=
(
−
1
)
1
+
1
∣
1
∗
(
−
2
)
−
0
∗
(
−
1
)
∣
=
−
2
\mathbf{A}_{11} = (-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 1*(-2)-0*(-1) \end{vmatrix}=-2
A11=(−1)1+1∣
∣1∗(−2)−0∗(−1)∣
∣=−2
A的伴随矩阵A* =
3. 应用之求解方程组的解
求解线性方程组的解。
求解有:
根据矩阵性质:
注意:可逆矩阵以及可逆矩阵的性质。
总结:
- 掌握伴随矩阵的求法;
- 学会通过求解伴随矩阵,完成对可逆矩阵的计算;
- 会应用伴随矩阵求可逆矩阵,从而求解方程组;
- 掌握基础原里,解决实际问题,应用创新。
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