迪杰斯特拉算法（求最短路径）

迪杰斯特拉算法用于查找图中某个顶点到其它所有顶点的最短路径，该算法既适用于无向加权图，也适用于有向加权图。

注意，使用迪杰斯特拉算法查找最短路径时，必须保证图中所有边的权值为非负数，否则查找过程很容易出错。

迪杰斯特拉算法的实现思路

图 1 是一个无向加权图，我们就以此图为例，给大家讲解迪杰斯特拉算法的实现思路。

在这里插入图片描述

图 1 无向加权图

假设用迪杰斯特拉算法查找从顶点 0 到其它顶点的最短路径，具体过程是：

  1. 统计从顶点 0 直达其它顶点的权值，如下表所示：

表 1 顶点 0 直达其它顶点的权值

123456
总权值26∞∞∞∞
路径0-10-20-30-40-50-6

∞ 表示两个顶点之间无法直达，对应的权值为无穷大。

  1. 表 1 中，权值最小的是 0-1 路径，它也是从顶点 0 到顶点 1 的最短路径（如图 2 所示）。原因很简单，从顶点 0 出发一共只有 0-1 和 0-2 两条路径，0-2 的权值本就比 0-1 大，所以从 0-2 出发不可能找得到比 0-1 权值更小的路径。

在这里插入图片描述

图 2 最短路径 0-1

  1. 找到最短路径 0-1 后，沿 0-1 路径方向查找更短的到达其它顶点的路径，并对表 1 进行更新。

表 2 沿 0-1 最短路径更新表 1

123456
总权值262+5∞∞∞
路径0-10-20-1-30-40-50-6

绿色加粗的权值是已确认为最短路径的权值，后续选择总权值最小的路径时不再重复选择；红色加粗的权值为刚刚更新的权值。

更新后的表格如表 2 所示，沿 0-1 路径可以到达顶点 3，且 0-1-3 的总权值比 0-3 更小。表 2 中，总权值最小的路径是 0-2，它也是从顶点 0 到顶点 2 的最短路径，如下图所示。

在这里插入图片描述

图 3 最短路径 0-2

  1. 重复之前的操作，沿 0-2 路径方向查找更短的到达其它顶点的路径。遗憾地是，从顶点 2 只能到达顶点 3，且 0-2-3 的总权值比表 2 中记录的 0-1-3 更大，因此表 2 中记录的数据维持不变。

表 3 结合 0-2 最短路径更新表 2

123456
总权值267∞∞∞
路径0-10-20-1-30-40-50-6
  1. 表 3 中，总权值最小的是 0-1-3，它也是顶点 0 到顶点 3 的最短路径。

在这里插入图片描述

图 4 最短路径 0-1-3

沿 0-1-3 路径方向，查找到其它顶点更短的路径并更新表 3。更新后的表格为：

表 4 结合 0-1-3 最短路径更新表 3

123456
总权值2677+107+15∞
路径0-10-20-1-30-1-3-40-1-3-50-6
  1. 表 4 中，总权值最小的是 0-1-3-4，它是顶点 0 到顶点 4 的最短路径。

在这里插入图片描述

图 5 最短路径 0-1-3-4

从顶点 4 出发，查找顶点 0 到其它顶点更短的路径并更新表 4。更新后的表格为：

表 5 结合 0-1-3-4 最短路径更新表 4

123456
总权值267172217+2
路径0-10-20-1-30-1-3-40-1-3-50-1-3-4-6
  1. 表 5 中，总权值最小的路径是 0-1-3-4-6，它是顶点 0 到顶点 6 的最短路径。

在这里插入图片描述

图 6 最短路径 0-1-3-4-6

  1. 从图 6 可以看到，只剩下顶点 0 到顶点 5 的最短路径尚未确定。从顶点 6 出发到达顶点 5 的路径是 0-1-3-4-6-5，对应的总权值为 25，大于表 5 中记录的 0-1-3-5 路径，因此 0-1-3-5 是顶点 0 到顶点 5 的最短路径。

在这里插入图片描述

图 7 最短路径 0-1-3-5

由此借助迪杰斯特拉算法，我们找出了顶点 0 到其它所有顶点的最短路径，如下表所示：

表 6 最短路径

123456
总权值267172219

迪杰斯特拉算法的具体实现

了解了迪杰斯特拉算法的实现过程之后，接下来分别编写 C、Java 和 Python 程序真正地实现迪杰斯特拉算法。

仍以图 1 为例，迪杰斯特拉算法查找顶点 0 到其它顶点所有最短路径的 C 语言程序为：

#include <stdio.h>
#define V 20                   //顶点的最大个数
#define INFINITY 65535
typedef struct {
    int vexs[V];         //存储图中顶点数据
    int arcs[V][V];      //二维数组，记录顶点之间的关系
    int vexnum, arcnum;  //记录图的顶点数和弧（边）数
}MGraph;
//根据顶点本身数据，判断出顶点在二维数组中的位置
int LocateVex(MGraph * G, int v) {
    int i = 0;
    //遍历一维数组，找到变量v
    for (; i < G->vexnum; i++) {
        if (G->vexs[i] == v) {
            break;
        }
    }
    //如果找不到，输出提示语句，返回-1
    if (i > G->vexnum) {
        printf("no such vertex.\n");
        return -1;
    }
    return i;
}
//构造无向有权图
void CreateDG(MGraph *G) {
    printf("输入图的顶点数和边数：");
    scanf("%d %d", &(G->vexnum), &(G->arcnum));
    printf("输入各个顶点：");
    for (int i = 0; i < G->vexnum; i++) {
        scanf("%d", &(G->vexs[i]));
    }
    for (int i = 0; i < G->vexnum; i++) {
        for (int j = 0; j < G->vexnum; j++) {
            G->arcs[i][j] = INFINITY;
        }
    }
    printf("输入各个边的数据：\n");
    for (int i = 0; i < G->arcnum; i++) {
        int v1, v2, w;
        scanf("%d %d %d", &v1, &v2, &w);
        int n = LocateVex(G, v1);
        int m = LocateVex(G, v2);
        if (m == -1 || n == -1) {
            return;
        }
        G->arcs[n][m] = w;
        G->arcs[m][n] = w;
    }
}
//迪杰斯特拉算法，v0表示有向网中起始点所在数组中的下标
void Dijkstra_minTree(MGraph G, int v0, int p[V], int D[V]) {
    int final[V];//为各个顶点配置一个标记值，用于确认该顶点是否已经找到最短路径
    //对各数组进行初始化
    for (int v = 0; v < G.vexnum; v++) {
        final[v] = 0;
        D[v] = G.arcs[v0][v];
        p[v] = 0;
    }
    //由于以v0位下标的顶点为起始点，所以不用再判断
    D[v0] = 0;
    final[v0] = 1;
    int k = 0;
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
        int min = INFINITY;
        //选择到各顶点权值最小的顶点，即为本次能确定最短路径的顶点
        for (int w = 0; w < G.vexnum; w++) {
            if (!final[w]) {
                if (D[w] < min) {
                    k = w;
                    min = D[w];
                }
            }
        }
        //设置该顶点的标志位为1，避免下次重复判断
        final[k] = 1;
        //对v0到各顶点的权值进行更新
        for (int w = 0; w < G.vexnum; w++) {
            if (!final[w] && (min + G.arcs[k][w] < D[w])) {
                D[w] = min + G.arcs[k][w];
                p[w] = k;//记录各个最短路径上存在的顶点
            }
        }
    }
}
int main() {
    MGraph G;
    CreateDG(&G);
    int P[V] = { 0 };   // 记录顶点 0 到各个顶点的最短的路径
    int D[V] = { 0 };   // 记录顶点 0 到各个顶点的总权值
    Dijkstra_minTree(G, 0, P, D);
  
    printf("最短路径为：\n");
    for (int i = 1; i < G.vexnum; i++) {
        printf("%d - %d的最短路径中的顶点有：", i, 0);
        printf(" %d-", i);
        int j = i;
        //由于每一段最短路径上都记录着经过的顶点，所以采用嵌套的方式输出即可得到各个最短路径上的所有顶点
        while (P[j] != 0) {
            printf("%d-", P[j]);
            j = P[j];
        }
        printf("0\n");
    }
    printf("源点到各顶点的最短路径长度为:\n");
    for (int i = 1; i < G.vexnum; i++) {
        printf("%d - %d : %d \n", G.vexs[0], G.vexs[i], D[i]);
    }
    return 0;
}

迪杰斯特拉算法查找顶点 0 到其它顶点所有最短路径的 Java 程序为：

import java.util.Scanner;
public class Dijkstra {
    static int V = 9; // 图中边的数量
    public static class MGraph {
        int[] vexs = new int[V]; // 存储图中顶点数据
        int[][] arcs = new int[V][V]; // 二维数组，记录顶点之间的关系
        int vexnum, arcnum; // 记录图的顶点数和弧（边）数
    }
    public static int LocateVex(MGraph G, int V) {
        int i = 0;
        // 遍历一维数组，找到变量v
        for (; i < G.vexnum; i++) {
            if (G.vexs[i] == V) {
                break;
            }
        }
        // 如果找不到，输出提示语句，返回-1
        if (i > G.vexnum) {
            System.out.println("顶点输入有误");
            return -1;
        }
        return i;
    }
    // 构造无向有权图
    public static void CreatDG(MGraph G) {
        Scanner scn = new Scanner(System.in);
        System.out.print("输入图的顶点数和边数：");
        G.vexnum = scn.nextInt();
        G.arcnum = scn.nextInt();
        System.out.print("输入各个顶点：");
        for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
            G.vexs[i] = scn.nextInt();
        }
        for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
            for (int j = 0; j < G.vexnum; j++) {
                G.arcs[i][j] = 65535;
            }
        }
        System.out.println("输入各个边的数据:");
        for (int i = 0; i < G.arcnum; i++) {
            int v1 = scn.nextInt();
            int v2 = scn.nextInt();
            int w = scn.nextInt();
            int n = LocateVex(G, v1);
            int m = LocateVex(G, v2);
            if (m == -1 || n == -1) {
                return;
            }
            G.arcs[n][m] = w;
            G.arcs[m][n] = w;
        }
    }
    // 迪杰斯特拉算法，v0表示有向网中起始点所在数组中的下标
    public static void Dijkstra_minTree(MGraph G, int v0, int[] p, int[] D) {
        int[] tab = new int[V]; // 为各个顶点配置一个标记值，用于确认该顶点是否已经找到最短路径
        // 对各数组进行初始化
        for (int v = 0; v < G.vexnum; v++) {
            tab[v] = 0;
            D[v] = G.arcs[v0][v];
            p[v] = 0;
        }
        // 由于以v0位下标的顶点为起始点，所以不用再判断
        D[v0] = 0;
        tab[v0] = 1;
        int k = 0;
        for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
            int min = 65535;
            // 选择到各顶点权值最小的顶点，即为本次能确定最短路径的顶点
            for (int w = 0; w < G.vexnum; w++) {
                if (tab[w] != 1) {
                    if (D[w] < min) {
                        k = w;
                        min = D[w];
                    }
                }
            }
            // 设置该顶点的标志位为1，避免下次重复判断
            tab[k] = 1;
            // 对v0到各顶点的权值进行更新
            for (int w = 0; w < G.vexnum; w++) {
                if (tab[w] != 1 && (min + G.arcs[k][w] < D[w])) {
                    D[w] = min + G.arcs[k][w];
                    p[w] = k;// 记录各个最短路径上存在的顶点
                }
            }
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        MGraph G = new MGraph();
        CreatDG(G);
        int[] P = new int[V]; // 记录顶点 0 到各个顶点的最短的路径
        int[] D = new int[V]; // 记录顶点 0 到各个顶点的总权值
        Dijkstra_minTree(G, 0, P, D);
        System.out.println("最短路径为：");
        for (int i = 1; i < G.vexnum; i++) {
            System.out.print(i + " - " + 0 + " 的最短路径中的顶点有：");
            System.out.print(i + "-");
            int j = i;
            // 由于每一段最短路径上都记录着经过的顶点，所以采用嵌套的方式输出即可得到各个最短路径上的所有顶点
            while (P[j] != 0) {
                System.out.print(P[j] + "-");
                j = P[j];
            }
            System.out.println("0");
        }
        System.out.println("源点到各顶点的最短路径长度为:");
        for (int i = 1; i < G.vexnum; i++) {
            System.out.println(G.vexs[0] + " - " + G.vexs[i] + " : " + D[i]);
        }
    }
}

迪杰斯特拉算法查找顶点 0 到其它顶点所有最短路径的 Python 程序为：

V = 20   #顶点的最大个数
INFINITY = 65535    #设定一个最大值
P = [0]*V  # 记录顶点 0 到各个顶点的最短的路径
D = [0]*V  # 记录顶点 0 到各个顶点的总权值
class MGraph:
    vexs = []*V   #存储图中顶点数据
    arcs = [[0]*V for i in range(V)]    #二维列表，记录顶点之间的关系
    vexnum = 0    #记录图的顶点数和弧（边）数
    arcnum = 0
G = MGraph()
#根据顶点本身数据，判断出顶点在二维数组中的位置
def LocateVex(G,v):
    #遍历一维数组，找到变量v
    for i in range(G.vexnum):
        if G.vexs[i] == v:
            break
    #如果找不到，输出提示语句，返回-1
    if i>G.vexnum:
        print("顶点输入有误")
        return -1
    return i
#构造无向有权图
def CreateDG(G):
    print("输入图的顶点数和边数：",end='')
    li = input().split()
    G.vexnum = int(li[0])
    G.arcnum = int(li[1])
    print("输入各个顶点：",end='')
    G.vexs = [int(i) for i in input().split()]
    for i in range(G.vexnum):
        for j in range(G.vexnum):
            G.arcs[i][j] = INFINITY
    print("输入各个边的数据:")
    for i in range(G.arcnum):
        li = input().split()
        v1 = int(li[0])
        v2 = int(li[1])
        w = int(li[2])
        n = LocateVex(G,v1)
        m = LocateVex(G,v2)
        if m == -1 or n == -1:
            return
        G.arcs[n][m] = w
        G.arcs[m][n] = w
CreateDG(G)
#迪杰斯特拉算法，v0表示有向网中起始点所在数组中的下标
def Dijkstra_minTree(G,v0,P,D):
    #为各个顶点配置一个标记值，用于确认该顶点是否已经找到最短路径
    final = [0]*V
    #对各数组进行初始化
    for i in range(G.vexnum):
        D[i] = G.arcs[v0][i]
    #由于以v0位下标的顶点为起始点，所以不用再判断
    D[v0] = 0
    final[v0] = 1
    k =0
    for i in range(G.vexnum):
        low = INFINITY
        #选择到各顶点权值最小的顶点，即为本次能确定最短路径的顶点
        for w in range(G.vexnum):
            if not final[w]:
                if D[w] < low:
                    k = w
                    low = D[w]
        #设置该顶点的标志位为1，避免下次重复判断
        final[k] = 1
        #对v0到各顶点的权值进行更新
        for w in range(G.vexnum):
            if not final[w] and (low + G.arcs[k][w]<D[w]):
                D[w] = low + G.arcs[k][w]
                P[w] = k   #记录各个最短路径上存在的顶点
Dijkstra_minTree(G,0,P,D)
print("最短路径为：")
for i in range(1,G.vexnum):
    print("%d - %d的最短路径中的顶点有："%(i,0),end='')
    print("%d-"%(i),end='')
    j = i
    #由于每一段最短路径上都记录着经过的顶点，所以采用嵌套的方式输出即可得到各个最短路径上的所有顶点
    while P[j] != 0:
        print("%d-"%(P[j]),end='')
        j = P[j]
    print("0")
print("源点到各顶点的最短路径长度为:")
for i in range(1,G.vexnum):
    print("%d - %d : %d"%(G.vexs[0], G.vexs[i], D[i]))

以上程序的执行过程为：

输入图的顶点数和边数：7 9
输入各个顶点：0 1 2 3 4 5 6

输入各个边的数据：
0 1 2
0 2 6
1 3 5
2 3 8
3 5 15
3 4 10
4 5 6
4 6 2
5 6 6
最短路径为：
1 - 0的最短路径中的顶点有： 1-0
2 - 0的最短路径中的顶点有： 2-0
3 - 0的最短路径中的顶点有： 3-1-0
4 - 0的最短路径中的顶点有： 4-3-1-0
5 - 0的最短路径中的顶点有： 5-3-1-0
6 - 0的最短路径中的顶点有： 6-4-3-1-0
源点到各顶点的最短路径长度为:
0 - 1 : 2
0 - 2 : 6
0 - 3 : 7
0 - 4 : 17
0 - 5 : 22
0 - 6 : 19

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