【回溯法】－－01背包问题

1、问题描述

　　给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi>0，其价值为vi>0，背包的容量为c。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？ （要求使用回溯法）

　例如：

２、算法分析

【整体思路】

　　01背包属于找最优解问题，用回溯法需要构造解的子集树。对于每一个物品i，对于该物品只有选与不选2个决策，总共有n个物品，可以顺序依次考虑每个物品，这样就形成了一棵解空间树： 基本思想就是遍历这棵树，以枚举所有情况，最后进行判断，如果重量不超过背包容量，且价值最大的话，该方案就是最后的答案。

      在搜索状态空间树时，只要左子节点是可一个可行结点，搜索就进入其左子树。对于右子树时，先计算上界函数，以判断是否将其减去（剪枝）。

　　上界函数bound():当前价值cw+剩余容量可容纳的最大价值<=当前最优价值bestp。　

   　为了更好地计算和运用上界函数剪枝，选择先将物品按照其单位重量价值从大到小排序，此后就按照顺序考虑各个物品。

【举例说明】

　　对于n=4的0/1背包问题，其解空间树如图所示，树中的16个叶子结点分别代表该问题的16个可能解。 

【算法设计】

    利用回溯法试设计一个算法求出0-1背包问题的解，也就是求出一个解向量ｘi （即对n个物品放或不放的一种的方案）

　其中， (ｘi = 0 或１，ｘi = 0表示物体ｉ不放入背包，ｘi ＝1表示把物体ｉ放入背包）。

在递归函数Backtrack中，
　　　　当i>n时，算法搜索至叶子结点，得到一个新的物品装包方案。此时算法适时更新当前的最优价值
　　　　当i<n时，当前扩展结点位于排列树的第（i-1）层，此时算法选择下一个要安排的物品，以深度优先方式递归的对相应的子树进行搜索，对不满足上界约束的结点，则剪去相应的子树。

【时间复杂度&&优化】　　

　　因为物品只有选与不选2个决策，而总共有n个物品，所以时间复杂度为。

　　因为递归栈最多达到n层，而且存储所有物品的信息也只需要常数个一维数组，所以最终的空间复杂度为O(n)。

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【源代码】        

#include <iostream>
#include <stdio.h>
//#include <conio.h>
using namespace std;
int n;//物品数量
double c;//背包容量
double v[100];//各个物品的价值　value
double w[100];//各个物品的重量　weight
double cw = 0.0;//当前背包重量　current weight
double cp = 0.0;//当前背包中物品总价值　current value
double bestp = 0.0;//当前最优价值best price
double perp[100];//单位物品价值(排序后) per price
int order[100];//物品编号
int put[100];//设置是否装入，为1的时候表示选择该组数据装入，为0的表示不选择该组数据


//按单位价值排序
void knapsack()
{
    int i,j;
    int temporder = 0;
    double temp = 0.0;

    for(i=1;i<=n;i++)
        perp[i]=v[i]/w[i]; //计算单位价值（单位重量的物品价值）
    for(i=1;i<=n-1;i++)
    {
        for(j=i+1;j<=n;j++)
            if(perp[i]<perp[j])//冒泡排序perp[],order[],sortv[],sortw[]
        {
            temp = perp[i];  //冒泡对perp[]排序
            perp[i]=perp[j];
            perp[j]=temp;

            temporder=order[i];//冒泡对order[]排序
            order[i]=order[j];
            order[j]=temporder;

            temp = v[i];//冒泡对v[]排序
            v[i]=v[j];
            v[j]=temp;

            temp=w[i];//冒泡对w[]排序
            w[i]=w[j];
            w[j]=temp;
        }
    }
}

//回溯函数
void backtrack(int i)
{   //i用来指示到达的层数（第几步，从0开始），同时也指示当前选择玩了几个物品
    double bound(int i);
    if(i>n) //递归结束的判定条件
    {
        bestp = cp;
        return;
    }
    //如若左子节点可行，则直接搜索左子树;
    //对于右子树，先计算上界函数，以判断是否将其减去
    if(cw+w[i]<=c)//将物品i放入背包,搜索左子树
    {
        cw+=w[i];//同步更新当前背包的重量
        cp+=v[i];//同步更新当前背包的总价值
        put[i]=1;
        backtrack(i+1);//深度搜索进入下一层
        cw-=w[i];//回溯复原
        cp-=v[i];//回溯复原
    }
    if(bound(i+1)>bestp)//如若符合条件则搜索右子树
        backtrack(i+1);
}

//计算上界函数，功能为剪枝
double bound(int i)
{   //判断当前背包的总价值cp＋剩余容量可容纳的最大价值<=当前最优价值
    double leftw= c-cw;//剩余背包容量
    double b = cp;//记录当前背包的总价值cp,最后求上界
    //以物品单位重量价值递减次序装入物品
    while(i<=n && w[i]<=leftw)
    {
        leftw-=w[i];
        b+=v[i];
        i++;
    }
    //装满背包
    if(i<=n)
        b+=v[i]/w[i]*leftw;
    return b;//返回计算出的上界

}



int main()
{
    int i;
    printf("请输入物品的数量和背包的容量：");
    scanf("%d %lf",&n,&c);
    /*printf("请输入物品的重量和价值：\n");
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        printf("第%d个物品的重量：",i);
        scanf("%lf",&w[i]);
        printf("第%d个物品的价值是：",i);
        scanf("%lf",&v[i]);
        order[i]=i;
    }*/
    printf("请依次输入%d个物品的重量:\n",n);
    for(i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf",&w[i]);
        order[i]=i;
    }

    printf("请依次输入%d个物品的价值:\n",n);
    for(i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf",&v[i]);
    }


    knapsack();
    backtrack(1);


    printf("最优价值为：%lf\n",bestp);
    printf("需要装入的物品编号是：");
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(put[i]==1)
            printf("%d ",order[i]);
    }
    return 0;
}