前言

  时间复杂度用于描述一个算法的运行时间消耗。刷题（leetcode等）也会有部分题要求写出一些进阶解法。

一、简介

1、时间频度T(n)

  一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多少就可以了。一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

2、时间复杂度

  时间频度T(n)中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数，记作T(n)=O(f(n))，它称为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

3、大O表示法

  用O( )来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O表示法。
  推导大O阶，我们可以按照如下的规则来进行推导，得到的结果就是大O表示法：

• 1.用常数1来取代运行时间中所有加法常数。
• 2.修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
• 3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

二、常见时间复杂度量级

  常见的时间复杂度量级有：

• 常数阶O(1)
• 线性阶O(n)
• 对数阶O(logN)
• 线性对数阶O(nlogN)
• 平方阶O(n²)
• 立方阶O(n³)
• K次方阶O(n^k)
• 指数阶(2ⁿ)

1、常数阶O(1)

  无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)。如：

int i = 1;
int j = 2;
++i;
j++;
int m = i + j;

2、线性阶O(n)

  代码消耗随着某个变量的增长而增长（for循环）。如：

for(i=1; i<=n; ++i)
{
   j = i;
   j++;
}

3、对数阶O(logN)

int i = 1;
while(i<n)
{
    i = i * 2;
}

  从上面代码可以看到，在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。我们试着求解一下，假设循环x次之后，i 就大于 n 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log₂n
也就是说当循环 log₂n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(logn)。

4、线性对数阶O(nlogN)

  线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)。如：

for(m=1; m<n; m++)
{
    i = 1;
    while(i<n)
    {
        i = i * 2;
    }
}

5、平方阶O(n²)

  平方阶O(n²)也好理解，把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²) 了。

for(x=1; i<=n; x++)
{
   for(i=1; i<=n; i++)
    {
       j = i;
       j++;
    }
}

6、立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)

  参考上面的O(n²) 去理解，O(n³)相当于三层n循环，其它的类似。