主要是看ppt和做课后练习

数理逻辑

1.命题逻辑的基本概念

1.1 命题与连接词

  1. ~考察命题的概念 。判断是不是命题

命题::命题是陈述句,有唯一的解(就是有解并且唯一)

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我正在说假话
这个很有意思,如果为真,则“我正在说假话"为真,即我正在说真话,那这就与“我正在说假话"矛盾,因而这个的由真能推出假,由假能推出真。故矛盾,不能判断真值唯一,把这类命题称为悖论,不属于命题

2.~考察命题的联结词(命题的符号化
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可以表示自然语言中的 ”即…又…" “不但…而且” “虽然…但是…” “一面…一面…”
可以用∧

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∨主要是或的意思,注意下面的相容或和排斥或的不同之处
相容或:p∨q
排斥或:(p∧┐q)∨(┐p∧q)

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→: 例如p→q,p是前件,q称为后件。→称为蕴涵联结词。
只有前件为1,后件为0的情况下整个式子为假
p→q表示为 p是q的充分条件,q是p的必要条件
==在自然语言中,"只要p ,就q " " 因为 p ,所以 q " " p仅当q " "只有q才p ” “ 除非 q,否则 非p “这些可以用→ ==
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记住这几个语句是代表p→q,
例如上面题的第四个为 只有天冷,小王才穿羽绒服. 只有 q ,才p为 p→q
但是这个是 只有p,才q ,相反,所以化为 q→p;
6是对着的
没办法 我比较笨,只能记住了

↔等价蕴涵式:当且仅当

联结词的优先级顺序
┐ ∧ ∨ → ↔

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1.2 命题公式及其赋值

主要考察公式的真值表以及值和公式的类型(重言式,矛盾式,可满足式)
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1.3 习题

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2.命题逻辑等值演算

2.1等值式(基本等值式(16组,24个公式))

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主要是公式
这里是16组公式、
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这里我选几个我记不太住比较重要的
分配律:A∨(B∧C)=(A∨B)∧(A∨C)
====== A∧(B∨C)=(A∧B)∨(A∧C)
====== (p∧q)∨(p∧┐q)=p
====== (p∨q)∧(p∨┐q)=p
====== (A∧B)∨(C∧D)=(A∨C)∧(A∨D)∧(B∨C)∨(B∨D)

`
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2.2 析取范式和合取范式(主要是主析取范式和主合取范式)

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主析取范式 是 m 是公式的成真赋值
主合取范式是 M 是求公式的成假赋值

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主范式的应用
1·求公式的成真成假賦值
2·判断公式的类型( 重言式 ,可满足式 ,矛盾式 )
3·判断两个公式是否等值
4·解实际问题

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这个比较重要可能会出题

2.3 联结词的完备集

这个没啥,就记住下图就行

设s是一个联结词集合,如果一个命题公式都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示,则称S是一个联结词完备集.

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记忆:好记,这里 ┐,↔不是联结词完备集的 ,最小的是与非和或非
就记住有(┐,)基本可以
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2.4 练习

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3.命题逻辑的推理

3.1推理的相关公式(9条推理公式)

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下面重要的公式给我记住
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3.2 自然推理系统

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接下来介绍命题推理的各种方法:
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第一种:直接证明

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第二种,附加前提引入 ,将结论的前提引入做条件,只用证明结论的后件

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最后一种方法是 归谬法(反证法)把结论的非 加入前提条件,推出矛盾即最后为0

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3.3 练习

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这一题中要牢记在自然推理系统中可以用的规则
就是这个 A可以变成 A∨B
添加一个不存在的数值满足结论
这个是公式附加律也是附加前提

如这题最后求出r,但前提里没有s,只能添加一个s

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4.一阶逻辑基本概念

4.1 一阶逻辑命题符号化

一阶逻辑命题的结构:
个体词 、谓词、 量词
个体词、谓词和量词是谓词逻辑命题符号化的3个基本要素.
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4.2 一阶逻辑公式及其解释

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这章差不多最难的就是命题符号化和判断类型

4.3 练习

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1中y自由,所以为-1,谁不自由不能写成数字,不一定对是我的想法
所以第二个中第一个的x自由x为1
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5.一阶逻辑等值演算与推理

5.1 一阶逻辑等值式(还是公式要记牢)

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换名规则换掉的是既约束出现、又有自由出现的个体变项

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5.2 一阶逻辑前束范式

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(前束范式存在定理)一阶逻辑中的任何公式都存在等值的前束范式.
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5.3 一阶逻辑的推理(比较重要)

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这个特别注意
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在自然推理系统中

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5.4 练习

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6 集合代数

6.1 集合的基本概念

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这个幂集要记牢,有可能会出
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6.2 集合的运算

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运算的优先级

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6.3 文氏图及有穷集合的计数

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6.4 集合恒等式(命题证明)

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德摩根律和吸收律需要记忆下,其他的好记

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证明命题

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我比较喜欢直接第二种用公式推
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6.5 练习

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用A表示阅读《每月新闻杂志》的人
用B表示i阅读《时代》的人
用C表示阅读《财富》的人
(1)ABC = (A∪B∪C) - (A + B + C - AB - BC - CA)
= (60 - 8) - (25 + 26 + 26 - 9 - 11 - 8)
= 3
(2)
A -B -C = A - AB - AC + ABC
= 25 - 9 - 11 + 3
= 8
B -C-A = B - BC - BA + ABC
= 26 - 8 -11 + 3
= 10
C -A-B = C - CA - CB + ABC
= 26 -8 - 9 + 3
= 12

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7 二元关系

7.1 有序对与笛卡尔积

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7.2 二元关系

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给出一个关系的方法有3种:集合表达式、关系矩阵和关系图.

关系矩阵和关系图.都是按照R里的顺序画的
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7.3 关系的运算

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练习

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7.4 关系运算的性质(看看就行,不一定出知识点)

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7.5 关系的幂运算

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下面这个比较重要,可能会用到
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7.6 关系的性质(重要的,要记牢)

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看A中的恒等是不是全有——自反
如果没一个AA——反自反

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看R中的数组的逆,是不是存在,必须全部都是这样的,
R中全部没有对称的如R3这样才是只有反对称
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7.7 关系的闭包

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7.8 等价关系及划分

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7.9 偏序关系与偏序集

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注意是反对称的
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哈斯图

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注意最后别忘记并一个IA (恒等式)

注意最后别忘记并一个IA (恒等式)

注意最后别忘记并一个IA (恒等式)
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最小元和最大元要跟所有数相连

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上界的最小元就叫最小上界;
下界的最大元叫最大下界;
就像在这个图中,如果找b,d的最小上界,就要先找到b,d的上界,b,d上界的点只有f。上界中的最小元只能是f;
如果找d,e的最大下界,d,e的下界有a,b,c。然后找a,b,c,中的最大元,由于a,b,c,没有最大元,所以不存在最大下界。
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7.10 练习

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9 代数系统

9.1 二元运算及其性质

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单位元也叫幺元

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c为这个集合的单位元e
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9.2 代数系统

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9.3 代数系统的同态和同构

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10 群与环

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10.1 群的定义和性质

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模n加法与模n减法

模为几代表是几进制.
比如说模3加法:210+101=1011(逢3进1)
222+111=1110.
你就把两个数竖式相加,逢三进一就行.
模2乘法:
1 *0=0, 0 *0=0, 1 *1=1
然后相加时逢二进一.
一般来说,竖式做乘法会比较清晰,个位数相乘符合上述规律,错位相加时逢二进一.
比如11 *11=1001.
link

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10.2 子群和群的陪集分解(主要是子群)

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子群的判定定理:

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重点来了

10.3 循环群与置换群

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10.4 环与域(会判断他俩)

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域:

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10.4 练习

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11 格与布尔代数

11.1 判断格

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11.2 分配格与有补格(能够判别给定的格是否为分配格、有补格)

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11.3 练习

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13.递推方程与生成函数

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习题

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14.图的基本概念

14.1 图

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下面这个比较重要

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握手定理

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14.2 通道与回路

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14.3 图的连通性

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14.4 图的矩形表示

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可达矩阵

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14.5 练习

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15 欧拉图与哈密顿图

15.1 欧拉图

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15.2 哈密顿图

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15.3 最短路问题

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15.4 练习

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16 树

16.1 无向树及其性质

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16.2 生成数

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16.3 练习

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18 支配集、覆盖集、独立集、匹配与着色

18.1 支配集与支配数

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18.2 着色

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18.3 练习

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17 平面图

17.1 平面图的基本概念

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17.2 欧拉公式

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