python control控制系统库

参考：Docs » Python Control Systems Library

系统创建

①control.tf(num, den) 传递函数方式

control.tf([1,2],[3,4])		# 方式1 通过分子分母系数创建
s = control.tf('s')			# 方式2 先创建传递函数为s
sys = (s+2)/(s**2+3*s+4)			# 再通过s的运算创建

②control.ss(A, B, C, D) 状态空间方式
③control.frd(‘响应’, ‘频率’) 频率响应方式
个人理解这种方式，是用测量得到的源数据做为输入

系统互连

①control.series(sys1, sys2,…) 系统串联
②control.parallel(sys1, sys2,…) 系统并联
③control.feedback(sys1, sys2) 负反馈连接，sys1是前向通路，sys2是反馈通路
④control.negate(sys1) 系统取反，即-sys1

复频域绘图

伯德图

①control.bode_plot(syslist) 绘制伯德图/波特图（幅频+相频曲线）
参数：
omega=np.logspace(start=-1,stop=1,num=200) 自定义频率范围
dB=1 幅度以对数坐标显示
Hz=1 频率以Hz为单位，默认为弧度rad/s
magrins=1 显示增益相位裕量

# 绘制一个低通加一个高通并联系统的伯德图
import control as ctrl
import matplotlib.pyplot as plt
import math

pi = math.pi
sys1 = ctrl.tf(10*2*pi,[1,10*2*pi])		# 低通，截止频率10，注意默认为弧度制
sys2 = ctrl.tf([1,0],[1,100*2*pi])		# 高通，截止频率100
sys3 = ctrl.parallel(sys1,sys2)			# 两系统并联
ctrl.bode_plot(sys3,dB=1,Hz=1)			# 绘制伯德图
plt.show()

奈奎斯特图

②control.nyquist_plot(syslist) 绘制奈奎斯特图 / H轨迹图（H contour）
伯德图的不足：只考虑到了s=jw的情况，即s只在正虚轴的情况；
而其他情况（σ≠0和负虚轴）可以用奈奎斯特图分析。（傅里叶到拉普拉斯变换）

了解奈奎斯特图需要了解的基础知识。。。
㈠ 开环闭环系统：考虑到一个反馈系统如下：

开环传递函数(环路增益)	闭环传递函数	闭环传递函数的分母项
$$G(s)\ast H(s)$$	$$\frac{G(s)}{1+G(s)\ast H(s)}$$	$$1+G(s)\ast H(s)$$

这个分母项 1+G(s)*H(s) 的特性：
✱它的极点 = 开环传递函数(环路增益)的极点
✱它的零点 = 闭环传递函数的极点

所以通过研究1+G(s)*H(s)的零极点，就可推断出开环和闭环系统的极点。（当然你也可以直接研究闭环传递函数，但是计算起来确实要比1+G(s)*H(s)要复杂一点）

㈡ 柯西幅角原理
若s的封闭轨迹为顺时针方向（这个轨迹可以是s平面的任意区域，不再限定在正虚轴，即伯德图对应的轨迹），且包围H(s)的P个极点和Z个零点，那么H(s)的H轨迹图将以相同的方向绕原点旋转Z-P圈 。

参考：拉扎维，模块CMOS集成电路设计，第二版，10.8.2~10.8.4

常规的系统稳定性判据：极点位于s平面的左半平面；反过来想，如果构建一个s在右半平面的轨迹，如果不包含极点，也可以判定系统是稳定的。

综合上述：
如果闭环系统稳定：s取右半平面区域对应的H轨迹图：不包含闭环系统极点 ≡ 不包含1+G(s)*H(s)的零点 ≡ G(s)*H(s)不包含(-1,0)点

所以，可以通过开环系统（也即环路增益）G(s)*H(s)的H轨迹图是否通过(-1，0)这个点来判定闭环系统是否稳定。

# 绘制开环函数为典型二阶系统的奈奎斯特图
import control as ctrl
import matplotlib.pyplot as plt

sys4 = ctrl.tf(100,[1,2*(-0.1)*10,100])	# 阻尼比-0.1，自然谐振频率10
ctrl.nyquist_plot(sys4)
plt.show()

这个图没有过（-1，0）这个点，所以尽管开环系统不稳定（因为阻尼比为负），但闭环系统是稳定的。（但最好不要太接近这个点）

根轨迹图

③control.root_locus(syslist) 绘制奈奎斯特图
假设一个系统的反馈量为常数：

当K从0变化到∞时，闭环系统的（稳定性）极点（也就是1+KH(s)=0的根）也随着变化，也就是所谓的根轨迹图。
假设H(s)=N(s)/D(s)
1+KH(s)=0 可以化简为 D(s)+K*N(s)=0
当K=0时，即D(s)=0，代表前向系统极点；（K=0代表反馈断开，电路系统中代表前向放大器）
当K=∞时，即N(s)=0，代表前向系统零点；（电路系统中反馈一般是无源器件分压，K=0➞1，K=1时为单位增益放大器，此时电路带宽=GBW，判断相位裕量的频点最高，此时相位裕量最小，虽然电路中K>1不常见，但可以通过此，预见闭环系统的极点变化的趋势）
所以随着K从0变化到∞，闭环系统的极点变化规律为：从前向系统H(s)的极点指向前向系统H(s)的零点。

# 绘制根轨迹图，
import control as ctrl
import matplotlib.pyplot as plt

s = ctrl.tf('s')
sys5 = (s+100)/(s*s*s+60*s*s+1100*s+6000)	#(s+100)/((s+10)*(s+20)*(s+30))
ctrl.root_locus(sys5)
plt.show()

根轨迹图如下：

从图中可以看到，随着K的增加，闭环系统的极点跑到了右半平面，系统会变得不稳定。

零极点图

④control.pzmap(sys)
就简单显示零极点位置图

时域响应

① control.step_response(sys) 阶跃响应
② control.impulse_response(sys) 冲激响应
③ 其它时域响应待研究
④
⑤

import control as ctrl
import matplotlib.pyplot as plt

sys6 = ctrl.tf(1,[1,0.2,1])	# 二阶系统，自然谐振频率为1，阻尼比为0.1，衰减振荡
t1,y1 = ctrl.step_response(sys6)
t2,y2 = ctrl.impulse_response(sys6)

plt.subplot(121)
plt.plot(t1, y1)
plt.title('step response')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.xlabel('time (s)')
plt.grid(1)
 
plt.subplot(122)
plt.plot(t2, y2)
plt.title('impulse response')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.xlabel('time (s)')
plt.grid(1)

plt.show()