一、离散傅里叶变换(DFT)

离散傅里叶变换的正变换和逆变换：

DFT是将离散信号分解为一系列离散三角函数分量，每一个分量都有对应的幅度、频率以及相位。通过所有分量叠加，可以得到原离散信号。

二、numpy中离散傅里叶变换的幅度谱和相位谱

1. numpy.fft.fft(a, n=None, axis=-1, norm=None)
   numpy.fft.fft计算输入数组a的n个点的离散傅里叶变换，得到长度为n的一维复数数组。每一个复数分量对应三角函数，都可计算对应三角函数的幅度、频率以及相位。这些所有频率的三角函数叠加可以得到原数组。

   • 幅度为复数的模除以采样点数n

   • 相位为复数的辅角

   • 频率可通过复数在数组中的位置对应求出（需利用函数numpy.fft.fftshift调整复数数组顺序，使得复数数组对应的频率顺序为负频率、0、正频率）

     • 如果n是偶数，那么复数数组对应的频率为：(dt为原数组的采样时间间隔)
       $(-\frac{1}{2},-\frac{n/2-1}{n},...,-\frac{2}{n},-\frac{1}{n},0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},...,\frac{n/2-1}{n},\frac{1}{2})\ast \frac{1}{dt}$
     • 如果n是奇数，那么复数数组对应的频率为：
       $(-\frac{(n-1)/2}{n},-\frac{(n-3)/2}{n},...,-\frac{2}{n},-\frac{1}{n},0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},...,\frac{(n-3)/2}{n},\frac{(n-1)/2}{n})\ast \frac{1}{dt}$

     n越小，那么傅里叶变换之后的用来叠加的离散三角函数个数（频率个数）越少，离散三角函数对应频率的间隔越大。

2. 举例如下：

    import numpy as np
   
    fft=np.fft.fft(arrayTemp,512)
    fftshift=np.fft.fftshift(fft)
    amp=abs(fftshift)/len(fft)
    pha=np.angle(fftshift)
    fre=np.fft.fftshift(np.fft.fftfreq(d=1,n=512))
   

   输入数组为arrayTemp，np.fft.fft计算了该输入数组的DFT，输出的复数数组长度为512个点；np.fft.fftshift调整复数数组顺序。那么，

   • 幅度amp。
   • 相位pha。np.angle(复数)计算复数的辅角主值。
   • 离散复数数组对应的频率值为从-1/2至1/2的512个值。d=dt，为原数组的采样时间间隔，这里设为1。np.fft.fftfreq返回离散傅里叶变换的采样频率值，np.fft.fftshift对应于复数数组调整频率数组顺序。注意如果将n设为1024，DFT之后对应的离散信号的频率间距会更小。

3. 幅度谱和相位谱
   频率为横轴，幅度为纵轴的图即为幅度谱；频率为横轴，相位为纵轴的图为相位谱。

   import matplotlib.pyplot as plt
   
   plt.figure()
   plt.plot(fre,amp)
   plt.xlabel('Frequency');plt.ylabel('Amplitude')
   
   plt.figure()
   plt.plot(fre,pha)
   plt.xlabel('Frequency');plt.ylabel('Phase')
   

参考：

https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.15.1/reference/routines.fft.html#module-numpy.fft
https://zhuanlan.zhihu.com/p/90102365