numpy——linalg线性代数

实验目的

熟练掌握linalg中常用函数

实验原理

numpy.linalg模块包含线性代数的函数。使用这个模块，可以计算逆矩阵、求特征值、解线性方程组以及求解行列式等。
NumPy.linalg函数和属性：

实验环境

Python 3.6.1
Jupyter

实验内容

练习numpy的linalg模块中常用函数的使用。

常用函数及说明：

代码部分

import numpy as np

1.计算逆矩阵

1)创建矩阵

A=np.mat("0 1 2;1 0 3;4 -3 8")  
A

matrix([[ 0,  1,  2],
        [ 1,  0,  3],
        [ 4, -3,  8]])

2)使用inv函数计算A逆矩阵

inv = np.linalg.inv(A)  
inv

matrix([[-4.5,  7. , -1.5],
        [-2. ,  4. , -1. ],
        [ 1.5, -2. ,  0.5]])

3)检查原矩阵与求得的逆矩阵相乘的结果为单位矩阵( 注：矩阵必须是方阵且可逆，否则会抛出LinAlgError异常。)

A*inv

matrix([[1., 0., 0.],
        [0., 1., 0.],
        [0., 0., 1.]])

2.求解线性方程组

numpy.linalg中的函数solve可以求解形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 为矩阵，b 为一维或二维的数组，x 是未知变量。

1）创建矩阵B和数组b

B = np.mat("1 -2 1;0 2 -8;-4 5 9")  
B

matrix([[ 1, -2,  1],        [ 0,  2, -8],        [-4,  5,  9]])

b = np.array([0,8,-9])  b

array([ 0,  8, -9])

2)调用solve函数求解线性方程

x = np.linalg.solve(B,b)  x

array([29., 16.,  3.])

3)使用dot函数检查求得的解是否正确

np.dot(B,x)

matrix([[ 0.,  8., -9.]])

3.特征值和特征向量

特征值（eigenvalue）即方程 Ax = ax 的根，是一个标量。其中，A 是一个二维矩阵，x 是一个一维向量。特征向量（eigenvector）是关于特征值的向量

numpy.linalg模块中，eigvals函数可以计算矩阵的特征值，而eig函数可以返回一个包含特征值和对应的特征向量的元组

1)创建一个矩阵

C = np.mat("3 -2;1 0")C

matrix([[ 3, -2],        [ 1,  0]])

2)调用eigvals函数求解特征值

c0 = np.linalg.eigvals(C)c0

array([2., 1.])

3)使用eig函数求解特征值和特征向量 (该函数将返回一个元组，按列排放特征值和对应的特征向量，其中第一列为特征值，第二列为特征向量)

c1,c2 = np.linalg.eig(C)c1

array([2., 1.])

c2

matrix([[0.89442719, 0.70710678],        [0.4472136 , 0.70710678]])

4)使用dot函数验证求得的解是否正确

for i in range(len(c1)):    print("left:",np.dot(C,c2[:,i]))    print("right:",c1[i]*c2[:,i])

left: [[1.78885438] [0.89442719]]right: [[1.78885438] [0.89442719]]left: [[0.70710678] [0.70710678]]right: [[0.70710678] [0.70710678]]

4.奇异值分解

SVD（Singular Value Decomposition，奇异值分解）是一种因子分解运算，将一个矩阵分解为3个矩阵的乘积

numpy.linalg模块中的svd函数可以对矩阵进行奇异值分解。该函数返回3个矩阵——U、Sigma和V，其中U和V是正交矩阵，Sigma包含输入矩阵的奇异值。

1)创建一个矩阵

D = np.mat("4 11 14;8 7 -2")D

matrix([[ 4, 11, 14],        [ 8,  7, -2]])

2)使用svd函数分解矩阵

U,Sigma,V = np.linalg.svd(D,full_matrices=False)  print ("U:",U)  print ("Sigma:",Sigma)  print ("V",V) 

U: [[ 0.9486833  -0.31622777] [ 0.31622777  0.9486833 ]]Sigma: [18.97366596  9.48683298]V [[ 0.33333333  0.66666667  0.66666667] [ 0.66666667  0.33333333 -0.66666667]]

注：(上述)结果包含等式中左右两端的两个正交矩阵U和V，以及中间的奇异值矩阵Sigma

3）使用diag函数生成完整的奇异值矩阵。将分解出的3个矩阵相乘

print (U * np.diag(Sigma) * V) 

[[ 4. 11. 14.] [ 8.  7. -2.]]

5.广义逆矩阵

使用numpy.linalg模块中的pinv函数进行求解广义逆矩阵，inv函数只接受方阵作为输入矩阵，而pinv函数则没有这个限制

1）创建一个矩阵

E = np.mat("4 11 14;8 7 -2") E

matrix([[ 4, 11, 14],        [ 8,  7, -2]])

2) 使用pinv函数计算广义逆矩阵

pseudoinv = np.linalg.pinv(E)  print (pseudoinv)

[[-0.00555556  0.07222222] [ 0.02222222  0.04444444] [ 0.05555556 -0.05555556]]

3) 将原矩阵和得到的广义逆矩阵相乘

print (E * pseudoinv) 

[[ 1.00000000e+00 -4.44089210e-16] [-1.66533454e-16  1.00000000e+00]]

6.行列式

numpy.linalg模块中的det函数可以计算矩阵的行列式

1) 创建一个矩阵

F = np.mat("3 4;5 6") F

matrix([[3, 4],        [5, 6]])

2) 使用det函数计算矩阵的行列式

print (np.linalg.det(F)) 

-2.0000000000000004