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主成分分析简介

主成分分析（PCA）是一种广泛应用于机器学习的降维技术。PCA 通过对大量变量进行某种变换，将这些变量中的信息压缩为较少的变量。变换的应用方式是将线性相关变量变换为不相关变量。相关性告诉我们存在信息冗余，如果可以减少这种冗余，则可以压缩信息。例如，如果变量集中有两个高度相关的变量，那么通过保留这两个变量我们不会获得任何额外信息，因为一个变量几乎可以表示为另一个的线性组合。在这种情况下，PCA 通过平移和旋转原始轴并将数据投影到新轴上，将第二个变量的方差转移到第一个变量上，使用特征值和特征向量确定投影方向。因此，前几个变换后的特征（称为主成分）信息丰富，而最后一个特征主要包含噪声，其中的信息可以忽略不计。这种可转移性使我们能够保留前几个主成分，从而显著减少变量数量，同时将信息损失降至最低。

本文更多地关注图像数据上的实际逐步 PCA 实现，而不是理论上的解释，因为已经有大量的材料可用于此。选择了图像数据而不是表格数据，以便我们可以通过图像可视化更好地理解 PCA 的工作。从技术上讲，图像是像素矩阵，其亮度表示该像素内表面特征的反射率。对于 8 位整数图像，反射率值的范围为 0 到 255。因此，具有零反射率的像素将显示为黑色，值为 255 的像素显示为纯白色，值介于两者之间的像素显示为灰色调。文章中使用了在印度沿海地区拍摄的 Landsat TM 卫星图像。图像被调整为较小的比例以减少 CPU 上的计算负载。该图像集由在蓝色、绿色、红色、近红外 (NIR) 和中红外 (MIR) 电磁光谱范围内捕获的 7 个波段图像组成。

1.加载模块和图像数据

第一步是导入所需的库并加载数据。为了便于使访问和处理，波段图像被堆叠在大小为 850 x 1100 x 7（高 x 宽 x 波段数）的 3d numpy 阵列中。下面显示的彩色图像是红色、绿色和蓝色 (RGB) 波段图像的合成，再现了与我们所看到的相同的视图。

from IPython.display import Image, display
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
import seaborn as sns
import cv2
import numpy as np


# Read RGB image into an array
img = cv2.imread('band321.jpg')
img_shape = img.shape[:2]
print('image size = ',img_shape)


# specify no of bands in the image
n_bands = 7


# 3 dimensional dummy array with zeros
MB_img = np.zeros((img_shape[0],img_shape[1],n_bands))


# stacking up images into the array
for i in range(n_bands):
    MB_img[:,:,i] = cv2.imread('band'+str(i+1)+'.jpg',
                               cv2.IMREAD_GRAYSCALE)  


# Let's take a look at scene
print('\n\nDispalying colour image of the scene')
plt.figure(figsize=(img_shape[0]/100,img_shape[1]/100))
plt.imshow(img, vmin=0, vmax=255)
plt.axis('off');

图像场景包括各种地表特征，例如水、建筑面积、森林和农田。

2. 数据探索

让我们看一下不同特征的单个波段图像的反射率，并尝试深入了解波段图像中的特征。

import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.gridspec as grid


fig,axes = plt.subplots(2,4,figsize=(50,23),sharex='all', sharey='all')
fig.subplots_adjust(wspace=0.1, hspace=0.15)
fig.suptitle('Intensities at Different Bandwidth in the visible and Infra-red spectrum', fontsize=30)
axes = axes.ravel()


for i in range(n_bands):
    axes[i].imshow(MB_img[:,:,i],cmap='gray', vmin=0, vmax=255)
    axes[i].set_title('band '+str(i+1),fontsize=25)
    axes[i].axis('off')
fig.delaxes(axes[-1])

如果我们观察图像，所有波段都捕获了一个或多个表面特征，并且每个特征都在多个波段中被很好地捕获。例如，在波段 2（绿色）和波段 4（近红外）图像中，农田很容易与其他地表特征区分开来，但在其他区域则不易区分。因此，波段之间存在信息冗余，这意味着各波段之间的反射率有一定的相关性，这为我们提供了一个在它们上测试 PCA 的机会。

3. 数据标准化

在应用 PCA 之前，我们必须通过标准化将我们的数据转化为通用格式。这样做的目的是确保变量在内部保持一致，而不管它们的类型如何。例如，如果数据集有两个变量，温度以摄氏度为单位，降雨量以厘米为单位。由于变量范围和单位不同，不建议按原样使用不同的变量，否则数量级不同的变量可能会导致模型对某些变量的偏差。标准化是通过减去均值来使变量居中，然后通过除以标准差使它们达到一个共同的尺度来完成的。由于我们处理的变量（波段图像）相似且具有相同的范围，因此不需要标准化，但仍然可以应用。

我们的变量是图像二维数组，需要转换为一维向量以便于矩阵计算。让我们创建一个大小为 935000 X 7（图像中的像素数 X 波段数）的变量矩阵，并将这些一维向量存储在其中。

# Convert 2d band array in 1-d to make them as feature vectors and Standardization
MB_matrix = np.zeros((MB_img[:,:,0].size,n_bands))


for i in range(n_bands):
    MB_array = MB_img[:,:,i].flatten()  # covert 2d to 1d array 
    MB_arrayStd = (MB_array - MB_array.mean())/MB_array.std()  
    MB_matrix[:,i] = MB_arrayStd
MB_matrix.shape;

4. PCA 变换

让我们进一步了解 PCA 中发生的轴变换。下面的散点图显示了绿色和红色波段数据之间的相关性。然后使用特征向量确定主分量轴 (X2, Y2)，使得沿 X2 方向的方差最大，而与其正交的方向使 Y2 的方差最小。原始轴 (X1, Y1) 现在沿主分量轴 (X2, Y2) 旋转，投影到这些新轴上的数据是主分量。需要注意的是，原始数据中存在的相关性在转换到 (X2, Y2) 空间后被消除，而方差部分从一个变量转移到另一个变量。

 5. 特征值和特征向量计算

下一步是计算协方差矩阵的特征向量和对应的特征值

# Covariance
np.set_printoptions(precision=3)
cov = np.cov(MB_matrix.transpose())


# Eigen Values
EigVal,EigVec = np.linalg.eig(cov)


print("Eigenvalues:\n\n", EigVal,"\n")

特征值：
[5.508 0.796 0.249 0.167 0.088 0.064 0.128]

在这一步中，实现数据压缩和降维。如果我们观察特征值，我们会发现这些值完全不同。这些值为我们提供了特征向量或方向的重要性顺序，即沿着特征向量的轴具有最大的特征值，是最重要的 PC 轴，依此类推。下一步是根据特征值从高到低对特征向量进行排序，按重要性顺序重新排列主成分。我们需要在有序特征向量的方向上转换数据，而有序特征向量又会产生主成分。

# Ordering Eigen values and vectors
order = EigVal.argsort()[::-1]
EigVal = EigVal[order]
EigVec = EigVec[:,order]


#Projecting data on Eigen vector directions resulting to Principal Components 
PC = np.matmul(MB_matrix,EigVec)   #cross product

6. 主成分验证

依赖性检查

我们能够成功地生产主要成分。现在，让我们验证 PC 以检查它们是否能够减少冗余，并检查实现数据压缩的程度。我们将创建散点图来可视化原始波段中的成对关系，并将其与 PC 的成对关系进行比较以测试是否存在依赖性。

# Generate Paiplot for original data and transformed PCs


Bandnames = ['Band 1','Band 2','Band 3','Band 4','Band 5','Band 6','Band 7']
a = sns.pairplot(pd.DataFrame(MB_matrix,
                columns = Bandnames),
                 diag_kind='kde',plot_kws={"s": 3})
a.fig.suptitle("Pair plot of Band images")


PCnames = ['PC 1','PC 2','PC 3','PC 4','PC 5','PC 6','PC 7']
b = sns.pairplot(pd.DataFrame(PC,
                columns = PCnames),
                 diag_kind='kde',plot_kws={"s": 3})
b.fig.suptitle("Pair plot of PCs")

波段（左）和 PCs（右）的配对图

让我们看一下配对图，并注意到原始数据中存在的变量之间的相关性在主成分中消失了。因此，PCA 能够显著降低相关性。沿对角线的分布图告诉我们，PCA 也成功地转移了与可压缩性相关的方差。

压缩性检查

#Information Retained by Principal Components


plt.figure(figsize=(8,6))
plt.bar([1,2,3,4,5,6,7],EigVal/sum(EigVal)*100,align='center',width=0.4,
        tick_label = ['PC1','PC2','PC3','PC4','PC5','PC6','PC7'])
plt.ylabel('Variance (%)')
plt.title('Information retention');

上面绘制的以百分比表示的特征值条形图为我们提供了每个 PC 中保留的信息。请注意，最后一个 PC 的特征值很小且不那么重要，这就是降维的作用所在。如果我们选择保留 93% 信息的前三个相关组件，那么最终数据可以从 7 维减少到 3 维，而不会丢失太多信息。

7. 将 PC 转换回图像

是时候将一维 PC 重塑回原始图像形状并将PCs在 0 到 255 之间进行归一化，这与原始图像范围相同，以使图像可视化成为可能。

# Rearranging 1-d arrays to 2-d arrays of image size


PC_2d = np.zeros((img_shape[0],img_shape[1],n_bands))
for i in range(n_bands):
    PC_2d[:,:,i] = PC[:,i].reshape(-1,img_shape[1])


# normalizing between 0 to 255
PC_2d_Norm = np.zeros((img_shape[0],img_shape[1],n_bands))
for i in range(n_bands):
    PC_2d_Norm[:,:,i] = cv2.normalize(PC_2d[:,:,i],
                    np.zeros(img_shape),0,255 ,cv2.NORM_MINMAX)

让我们直观地确定压缩量。

fig,axes = plt.subplots(2,4,figsize=(50,23),sharex='all',
                        sharey='all')
fig.subplots_adjust(wspace=0.1, hspace=0.15)
fig.suptitle('Intensities of Principal Components ', fontsize=30)


axes = axes.ravel()
for i in range(n_bands):
    axes[i].imshow(PC_2d_Norm[:,:,i],cmap='gray', vmin=0, vmax=255)
    axes[i].set_title('PC '+str(i+1),fontsize=25)
    axes[i].axis('off')
fig.delaxes(axes[-1])

主成分图像的强度

请注意，前几个 PCs 具有丰富的信息并且很清晰，随着我们接近尾声，PCs 开始丢失信息，而最后几个 PCs 大多包含噪声。我们将保留前三个 PCs 并丢弃其余的。这将有助于通过去除噪声改善数据质量，并通过机器学习算法进行处理，在时间和内存使用方面效率更高。

8. PC 和 RCB 图像比较

# Comparsion of RGB and Image produced using first three bands
fig,axes = plt.subplots(1,2,figsize=(50,23),
                        sharex='all', sharey='all')   
fig.subplots_adjust(wspace=0.1, hspace=0.15)


axes[0].imshow(MB_img[:,:,0:3].astype(int))
axes[0].axis('off');


axes[1].imshow(PC_2d_Norm[:,:,:3][:,:,[0,2,1]].astype(int))
axes[1].axis('off');

RGB 图像（左）与主成分合成图像（右）对比

最后，我们使用前三个主成分再现了相同的场景。右边的图像看起来比原始图像 RGB 更丰富多彩，这使得场景中的特征看起来更清晰，更容易区分。例如，由于颜色不同，农田可以更容易地与城市地区区分开来。一些特征在PC图中显得更加图层，而在左侧图像中则难以识别。因此，可以得出结论，PCA 在可压缩性和信息保留方面对我们的图像数据做得很好。

Github代码连接：

https://github.com/Skumarr53/Principal-Component-Analysis-testing-on-Image-data

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