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一、高斯消去法

比如对与上面的这个方程组，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消
去未知数的方法把原方程组 Ax = b 化为与其等价的三角形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法.。
大体过程主要分为消去与回代

function solution =gaosi(A,b)
n = length(b);
for k=1:n-1
    for i=k+1:n
        mik=A(i,k)/A(k,k);%消元因子
        for j=k+1:n
            A(i,j)=A(i,j)-mik*A(k,j);
        end
        b(i)=b(i)-mik*b(k);
    end
end
solution(n)=b(n)/A(n,n);
for i=n-1:-1:1 
    for j=i+1:n
        solution(i)=solution(i)+A(i,j)*solution(j);
    end
    solution(i)=(b(i)-solution(i))/A(i,i);
end
end

python

import numpy as np
def gaosi(A,b):
    [n, m] = b.shape
    solution = np.zeros((n, m))

    for k in range(0,n-1):
        for i in range(k+1,n):
            mik=A[i,k]/A[k,k]
            for j in range(k+1,n):
                A[i,j]=A[i,j]-mik*A[k,j]
            b[i]=b[i]-mik*b[k]

    solution[n-1]=b[n-1]/A[n-1,n-1]
    for i in range(n-2,-1,-1):
        for j in range(i+1,n):
            solution[i]=solution[i]+A[i,j]*solution[j]
        solution[i]=(b[i]-solution[i])/A[i,i]
    return solution

A = np.array([[10,-7,0,1],[-3,2.099999,6,2],[5,-1,5,-1],[2,1,0,2]])
b = np.array([[8],[5.900001],[5],[1]])
print(gaosi(A,b))

二、高斯列主元消去法

基于高斯消去法的改进，当列主元出现数值较小时，在消去的过程列主元会作为分母，导致误差的出现。基于此，列主元消去是将每一次的主元通过行互换，用绝对值最大的列主元进行消去

function solution = liezhuyuan(A,b)
n = length(b);
for k=1:n-1
    [value position]=max(abs(A(k:n,k))); %主元所在位置和主元的值
    if position~=1  %若a(k,k)不是绝对值最大的，换位置
        a_k_position=A(k,k:n);
        b_k_position=b(k);
        A(k,k:n)=A(position+k-1,k:n);
        A(position+k-1,k:n)=a_k_position;
        b(k)=b(position+k-1);
        b(position+k-1)=b_k_position;
    end
  % 后面消元
    for i=k+1:n
        mik=A(i,k)/A(k,k);
        for j=k+1:n
            A(i,j)=A(i,j)-mik*A(k,j);
        end
        b(i)=b(i)-mik*b(k);
    end
end
solution(n)=b(n)/A(n,n);
for i=n-1:-1:1 
    for j=i+1:n
        solution(i)=solution(i)+A(i,j)*solution(j);
    end
    solution(i)=(b(i)-solution(i))/A(i,i);
end
end

三、Lu分解

function [x,y,L,U] = LUfenjie(A,b)
% 输入
% A = [2 1 5;4 1 12;-2 -4 5]
% b=[11;27;12]
% 输出
% x =
%      1    -1     2
% y =
% 
%     11     5     8 
% 注意L分解出的结果只有下三角，主对角线为1
% L =
% 
%      0     0
%      2     0
%     -1     3
% U =
%      2     1     5
%      0    -1     2
%      0     0     4
n = length(b);
U(1,:)=A(1,:);
L(2:n,1)=A(2:n,1)/U(1,1);
for k=2:n
  for j=k:n
      U(k,j)=A(k,j)-L(k,1:k-1)*U(1:k-1,j);
  end
  for i=k+1:n
      L(i,k)=(A(i,k)-L(i,1:k-1)*U(1:k-1,k))/U(k,k);
  end
end

y(1)=b(1);
for i=2:n

   y(i)=b(i)-L(i,1:i-1)*y(1:i-1)';
end

x(n)=y(n)/U(n,n);
for i=n-1:-1:1
  x(i)=(y(i)-U(i,i+1:n)*x(i+1:n)')/U(i,i);
end

四、追赶法

追赶法只有当矩阵为三对角矩阵时才能使用（形如这样的）

矩阵为三对角矩阵时 ，用a,b,c 存储。 a为下对角线元素，b为对角线，c为上对角线。

function x =zhuigan(a,b,c,f)
%a下三角列（前面加0），b为主对角线，c为上三角,f为右端向量
%a,b,c为行向量，f为列向量
%如输入a = [0 1 1 1]
% b=[4 4 4 4]
% c = [2 2 2]
% f=[1;2;3;4]
% zuigan(a,b,c,f)
%输出
% ans =
%     0.0488    0.4024    0.1707    0.9573
%rats(ans)=
% 2/41         33/82          7/41        157/164
n=length(f);
l(1)=b(1);
for i=1:n-1
u(i)=c(i)/l(i);
l(i+1)=b(i+1)-a(i+1)*u(i);
end
y(1)=f(1)/l(1);
for i=2:n
  y(i)=(f(i)-a(i)*y(i-1))/l(i);
end
x(n)=y(n);
for i=n-1:-1:1
  x(i)=y(i)-u(i)*x(i+1);
end

end