$n$个相互独立，均服从$N(0,1)$的随机变量$X_1,X_2\cdots ,X_n$的平方和$X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2$服从自由度为$n$的${\chi }^2$分布，其密度函数为
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2^{n/2}\Gamma (n/2)}{x}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}.$$
下图展示了自由度$n$分别为2，4，6的$f(x)$的图像。

历史上均以残存函数$S(x)=1-F(x)$的反函数$S^{-1}(\alpha )$来表示单侧左分位点${\chi }_{\alpha }^2(n)$的，即对显著水平$\alpha$
$$P(X\ge {\chi }_{\alpha }^2(n))=\alpha .$$
如下图所示：

将单侧右分位点表为${\chi }_{1-\alpha }^2(n)$，即$1-P(X<{\chi }_{1-\alpha }^2(n))=\alpha$，如下图所示。而$1-P(X>{\chi }_{1-\alpha }^2(n))=P(X\le {\chi }_{1-\alpha }^2(n))=F({\chi }_{1-\alpha }^2(n))$。

而双侧左右分位点表为满足$P({\chi }_{1-\alpha /2}^2(n)\le X\le {\chi }_{\alpha /2}^2(n))=1-\alpha$的${\chi }_{1-\alpha /2}^2(n)$和${\chi }_{\alpha /2}^2(n)$，如下图所示。

Python的scipy.stats包中，连续型分布类 rv_continuous的chi2对象表示${\chi }^2$分布。${\chi }^2$分布常用的计算分位点函数的调用接口见下表。

例1 对显著水平$\alpha =0.05$，计算自由度$n=24$的${\chi }^2(n)$分布的分位点。
解：下列代码完成本例计算。

from scipy.stats import chi2        #导入chi2
n=24                                #设置自由度n
alpha=0.05                          #设置alpha
a=chi2.ppf(q=alpha, df=n)           #计算单侧左分位点
b=chi2.isf(q=alpha, df=n)           #计算单侧右分位点
print('单侧左、右分位点：a=%.4f, b=%.4f'%(a, b))
a, b=chi2.interval(1-alpha, df=n)   #计算双侧左分位点
print('双侧左、右分位点：a=%.4f, b=%.4f'%(a, b))

运行程序，输出

单侧左、右分位点：a=13.8484, b=36.4150
双侧左、右分位点：a=12.4012, b=39.3641

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