TOPSIS方法简介

TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution），通常也称为优劣解距离法。TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。它用于解决的问题是：给出n个对象，以及n个对象关于m个指标的各项数据，根据这些数据对n个对象进行综合评价并打分，此分数能反映这n个对象的综合排名

实现过程

1.将数据正向化

我们通常将数据指标分为四种：极大型、极小型、中间型、区间型，具体区别如下表：
$$\begin{array}{cc}\text{极大型}& \text{数据值越大越好，比如成绩、利润等}\\ \text{极小型}& \text{数据值越小越好，比如损失、挂科率等}\\ \text{中间型}& \text{数据值接近某个值时最好，比如某些情况下的ph值}\\ \text{区间型}& \text{数据值位于某个区间内最好}\end{array}$$
在这一步我们要做的是将m个指标全部转换为极大型指标，以下是对于每种数据类型的处理方法举例（因为转换成极大型的方法不止一种）
对于一组数据：$y_1,y_2,\cdots ,y_m$
若其为极大型，则无需操作；
若其为极小型， y i ∗ = m a x { y 1 , y 2 , ⋯   , y m } − y i y_i^* = max\{y_1,y_2,\cdots,y_m\} -y_i yi∗​=max{y1​,y2​,⋯,ym​}−yi​，则$y_1^{\ast },y_2^{\ast },\cdots ,y_m^{\ast }$组成一组极大型指标；
若其为中间型，设$y_0$为最优值， M = m a x { ∣ y i − y 0 ∣ } , y i ∗ = 1 − ∣ y i − y 0 ∣ M M = max\{|y_i-y_0|\},y_i^* = 1-\frac{|y_i-y_0|}{M} M=max{∣yi​−y0​∣},yi∗​=1−M∣yi​−y0​∣​,则$y_1^{\ast },y_2^{\ast },\cdots ,y_m^{\ast }$组成一组极大型指标；
若其为区间型，设最优区间为（a,b）,并且假定大于b、小于a的数据均存在， M = m a x { a − m i n   y i , m a x   y i − b } M = max\{a-min\,y_i,max\,y_i-b\} M=max{a−minyi​,maxyi​−b}
$$y_i^{\ast }=\{\begin{array}{ll}1-\frac{a-y_i}{M}& y_i\le a\\ 1& a<y_i<b\\ 1-\frac{y_i-b}{M}& y_i\ge b\end{array}$$则$y_1^{\ast },y_2^{\ast },\cdots ,y_m^{\ast }$组成一组极大型指标

2.将正向化矩阵标准化

设待评价的n个对象的m个指标的数据矩阵（经过正向化之后）如下：
$$\left[\begin{array}{cccc}{x}_{11}& x_{12}& \cdots & x_{1m}\\ x_{21}& x_{22}& \cdots & x_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_{n1}& x_{n2}& \cdots & x_{nm}\end{array}\right]$$
标准化是在此基础上构造新矩阵，使得每一列的元素平方和为1，不难验证以下操作得到的矩阵$Z$即满足要求
$$z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{x}_{ij}^2}}$$
之所以进行标准化，是因为各个指标的量纲不同，进行标准化是为了消除量纲差异

3.计算得分并归一化

标准化矩阵为
$$\left[\begin{array}{cccc}{z}_{11}& z_{12}& \cdots & z_{1m}\\ z_{21}& z_{22}& \cdots & z_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ z_{n1}& z_{n2}& \cdots & z_{nm}\end{array}\right]$$
将每列的最大值取出组成最大值向量： Z + = ( m a x   { z i 1 } , m a x   { z i 2 } , ⋯   , m a x   { z i m } ) Z^+=(max\,\{z_{i1}\},max\,\{z_{i2}\},\cdots,max\,\{z_{im}\}) Z+=(max{zi1​},max{zi2​},⋯,max{zim​})，同理得到最小值向量$Z^{-}$
第i个对象的m个数据与最大值之间的距离为$D_i^{+}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^m(z_{ij}-Z_j^{+}{)}^2}$,与最小值之间的距离为$D_i^{-}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^m(z_{ij}-Z_j^{-}{)}^2}$那么我们将第i个对象的未归一化得分定义为$S_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}$，归一化之后，第i个对象的最终得分为$\frac{S_i}{{\sum }_{r=1}^n{S}_r}$，至此便完成了全部的打分工作，接下来根据分数便可看出n个对象的综合排名

实例分析

下面通过一个实际问题来进一步理解该打分方法
例：下图为七个国家2020年在高等教育领域的七个指标的汇总，请根据其为七个国家在高等教育领域排名

分析

在这七个指标中，通过查阅资料得出：第1、3、5、6项指标为极大型指标；招生人数为中间型，最优值2500；毕业率为中间型，最优值0.74；师生比为中间型，最优值0.105

代码实现

import numpy as np

#定义转换函数：
def f_1(A):#极小型->极大型
    x = np.max(A)
    for i in range(0,A.shape[0]):
        A[i] = x-A[i]
    return A

def f_2(A,a):#中间型->极大型
    x = np.max(np.abs(A-a))
    for i in range(0,A.shape[0]):
        A[i] = 1-np.abs(A[i]-a)/x
    return A

def f_3(A,a,b):#区间型->极大型
    u = a-np.min(A)
    v = np.max(A)-b
    M = v
    if u>=v:
        M=u
    for i in range(0,A.shape[0]):
        if A[i]<=a:
            A[i] = 1-(a-A[i])/M
        elif A[i]>=b:
            A[i] = 1-(A[i]-b)/M
        else:
            A[i] = 1
    return A

#定义标准化函数：
def standardize(A):
    for j in range(0,A.shape[1]):
        sum = 0
        for i in range(0,A.shape[0]):
            sum = sum+A[i][j]**2
        for i in range(0,A.shape[0]):
            A[i][j] = A[i][j]/np.sqrt(sum)
    return A

#定义打分函数：
def score(Z):
    Z = np.transpose(Z)
    Z_max = []
    Z_min = []
    for j in range(0,Z.shape[0]):
        Z_max.append(np.max(Z[j]))
        Z_min.append(np.min(Z[j]))
    S = []
    for i in range(0,Z.shape[1]):
        sum1 = 0
        for j in range(0,Z.shape[0]):
            sum1 = sum1+(Z[j][i]-Z_max[j])**2
        D1 = np.sqrt(sum1)
        sum2 = 0
        for j in range(0,Z.shape[0]):
            sum2 = sum2+(Z[j][i]-Z_min[j])**2
        D2 = np.sqrt(sum2)
        S.append(D2/(D1+D2))
    return S

#归一化函数：
def g(S):
    S = np.array(S)
    sum = 0
    for i in range(0,S.shape[0]):
        sum = sum+S[i]
    for i in range(0,S.shape[0]):
        S[i] = S[i]/sum
    return S

def main():
    A = np.array([[28,19,3,5,3,3,8],
                  [1806,3180,3080,2560,3551,3309,3139],
                  [11.2,7.98,8.12,5.29,4.3,5.68,6.58],
                  [0.67,0.71,0.75,0.76,0.874,0.92,0.708],
                  [17413,11770,9081,11566,8295,9143,9556],
                  [0.823,0.741,0.804,0.7947,0.851,0.754,0.8676],
                  [0.112,0.111,0.1,0.091,0.071,0.058,0.067]])
    A[1] = f_2(A[1],2500)
    A[3] = f_2(A[3],0.74)
    A[6] = f_2(A[6],0.105)
    B = np.transpose(A)
    Z = standardize(B)
    S = score(Z)
    S1 = g(S)
    print(S1)

main()

结果为[0.22337069 0.19818175 0.1626775 0.18908219 0.04941305 0.0465146 0.13076021]由此得到各国的分数，可以看出每个国家在高等教育领域的发展程度，分数较低的国家需要寻找差距。

拓展

本道题目中默认了各项指标的权重相同，但在实际的评价中指标都是有各自的权重，因此应该用权重对公式进行修正，修正后的公式如下，$\omega$ 代表权重。
$$D_i^{+}=\sqrt{\sum _{j=1}^m{\omega }_j(Z_j^{+}-z_{ij}{)}^2},D_i^{-}=\sqrt{\sum _{j=1}^m{\omega }_j(Z_j^{-}-z_{ij}{)}^2}$$