scipy.special中封装了一些特殊函数，Bessel函数亦在其中。

定义

Bessel函数为Bessel方程的解，Bessel方程为

$$x^2\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{x}^2}+x\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+(x^2-{\alpha }^2)y=0$$

随着$\alpha$的变化，Bessel函数有着不同的类别。当$\alpha$非负时，可得到第一类Bessel函数的幂级数展开式，表示为

$$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^m}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}(\frac{x}{2}{)}^{2m+\alpha }$$

若$\alpha$为整数，则满足$J_{-n}(x)=(-1{)}^n{J}_n(x)$。

第二类Bessel函数又称为诺伊曼(Neumann)函数

$$Y_{\alpha }(x)=\frac{J_{\alpha }(x)\cos (\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin (\alpha \pi )}$$

• 第三类

第三类Bessel函数又称汉克尔(Hankel)函数,表示为

$$\begin{array}{r}{H}_{\alpha }^{(1)}(x)=J_{\alpha }(x)+i{Y}_{\alpha }(x)\\ H_{\alpha }^{(2)}(x)=J_{\alpha }(x)-i{Y}_{\alpha }(x)\end{array}$$

可得

$$\begin{array}{r}{H}_{\alpha }^{(1)}(x)=\frac{J_{-\alpha }(x)-e^{-i\alpha \pi }}{i\sin (\alpha \pi )}\\ H_{\alpha }^{(2)}(x)=\frac{J_{\alpha }(x)-e^{-i\alpha \pi }}{-i\sin (\alpha \pi )}\end{array}$$

即Hankel函数可表示为第一类或第二类Bessel函数的组合。

• 递推公式

$$\begin{array}{r}\frac{\text{d}}{\text{d}x}[x^n{J}_n(x)]=x^n{J}_{n-11}(x)\\ \frac{\text{d}}{\text{d}x}[x^n{J}_n(x)]=x^n{J}_{n-11}(x)\end{array}$$

封装

在scipy.special中，封装了如下Bessel函数。

	整数阶	实数阶	指数标度
一类		jv(v, z)	jve(v，z)
修正		iv(v, z)	ive(v, z)
二类	yn(n, x)	yv(v, z)	yve(v, z)
修正	kn(n, x)	nkv(v, z)	kve(v, z)
三类1		hankel1(v, z)	hankel1e(v, z)
三类2		hankel2(v, z)	hankel2e(v, z)

这些不同类型的Bessel函数，具有相似的输入变量，其中v均表示阶数，z均表示自变量。以jv(v,z)为例，作为第一类实数阶Bessel函数，其表达式为

$$J_v(z)=\{\begin{array}{rl}\exp (v\pi ı)I_v(-ız)& \Im (z)>0\\ \exp (-v\pi ı)I_v(ız)& \Im (z)<0\end{array}$$

且

$$J_{-v}(z)=J_v(z)\cos (\pi v)-Y_v(z)\sin (\pi v)$$

其函数图像为

绘图代码如下

import numpy as np
from scipy.special import jv
import matplotlib.pyplot as plt
v,z = np.indices([50,100])
ax = plt.subplot(projection='3d')
j = jv(v,z)
ax.plot_surface(v,z,j)

此外，还有wright_bessel(a，b，x)为广义贝塞尔函数，表达式为

$$\varphi (a,b,x)=\sum _0^{\infty }\frac{x^k}{k!\Gamma (ak+b)}$$

其中，a,b,x均大等于0。