零钱兑换

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change
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示例

示例 1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：
输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：
输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

解析

贪心法
关于找零钱问题，我们首先会想到贪心法，即尽力拿最大面值的硬币，算法如下：

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        ans = 0
        n = len(coins)
        coins = sorted(coins)
        for i in range(n):
            t = amount // coins[n-i-1]
            amount -= t * coins[n-i-1]
            ans += t
        return ans if amount == 0 else -1

但是会产生一个问题，这种找零钱的问题，它的硬币面值是不固定的因此就会存在拿最大面值的同时找的硬币数量不是最少或无法找零。例如：
情况一（数量不是最少）：
coins = [1, 4, 5]， amount = 28
贪心法拿到的硬币组合：28 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 1 + 1 + 1，总的数量为8；
而实际最优的结果应该是：28 = 5 + 5 + 5 + 5 + 4 + 4，总的数量为6。
情况二（无法找零）：
coins = [186,419,83,408]， amount = 6249
贪心法拿到的硬币组合： 6249 = 14 * 419 + 2 * 186 + 11，多出来11，无法分配，返回-1。
而实际的结果应该是：6249 可以找零，即总数量为20。
这里我们就需要考虑更灵活的分配方法，即动态规划。

动态规划
建立递推方程。
自低向上进行求解。
详细解说
图片来源

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        dp = [float('inf')] * (amount + 1)
        dp[0] = 0
        for i in range(1, amount+1):
            for coin in coins:
                if i - coin < 0:
                    continue
                dp[i] = min(dp[i-coin]+1, dp[i])
        return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1

这里存在一个判断钱数是否大于当前硬币面额的操作。从上图可以看到，上述解法是按图表中行的顺序依次计算。
我们也可以避免这样的判断，即按列进行计算，交换上述两个for循环，起始i的位置设为当前硬币的面值即可，代码如下：

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        dp = [float('inf')] * (amount + 1)
        dp[0] = 0
        for coin in coins:
            for i in range(coin, amount+1):  
                dp[i] = min(dp[i-coin]+1, dp[i])
        return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1