前馈神经网络

1. 神经元与激活函数神经元：下图有d个输入，我们可以认为当d是净输入的时候，d就是神经元的输入，让净输入加权求和并加上偏执项，并最终求和，得到一个输出，将这个输出作为激活函数的输入，其会对加权和再做一次运算最后输出a。这就是一个典型的神经元。激活函数：对于上图右部分即激活函数，其主要作用就是加强网络的表达能力，还有学习能力。我们要求激活函数是：1.连续的，可以允许个别点不可导，但绝大多数都是可导

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喜欢蓝喜欢白 · 2022-03-21 11:05:43 发布

1. 神经元与激活函数

神经元：下图有d个输入，我们可以认为当d是净输入的时候，d就是神经元的输入，让净输入加权求和并加上偏执项，并最终求和，得到一个输出，将这个输出作为激活函数的输入，其会对加权和再做一次运算最后输出a。这就是一个典型的神经元。

激活函数：对于上图右部分即激活函数，其主要作用就是加强网络的表达能力，还有学习能力。我们要求激活函数是：

1. 连续的，可以允许个别点不可导，但绝大多数都是可导的，并且是非线性的。这样的函数是可以让参数是可学习的

2. 我们还希望激活函数是尽可能简单。

3. 还希望激活函数的治愈是在一个比较小的区间内。

常用的激活函数有：

Sigmoid：是一个s型的函数，两端是饱和的，即在负无穷和正无穷的时候，导数都趋近于0
logistics：下图红色的曲线，值域在(0,1)间。可以看成一个挤压的函数，不管输入是多少，我都可以把区间挤压到(0,1)之间，当x趋近于0的时候，基本都是一个线性，导数是很明显的。可以看成是一个软性门（softGATE），控制输入的量。
tanh：黑色虚线，值域在(-1,1)之间。是0中心化的。非0中心化的输出会使得其后一层神经元的输入发生偏移，会导致收敛速度降低。

ReLU神经元：

好处：

只采用加乘的计算，使得训练过程变得简单。计算更加高效。
单侧抑制，款兴奋边界。
因为样本中往往只有较少的是有用的，而ReLU是一个稀疏的网络，只让少数神经元起作用。
在一定程度上缓解了梯度消失的问题。

坏处：因为稀疏性，也会使某些神经元死亡，不再起作用，就会误杀。因此有很多优化版本

2. 全连接神经网络（前馈神经网络/多层感知器）介绍

前馈神经网络：各神经元分别属于不同的层，层内无连接。而是层与层之间的连接。整个网络无反馈，信号从输入层向输出层单向传播。

他的信息是单向的，经过每层网络提取不同的特征，最终的到结果。

通用近似定理：因为前馈神经网络具有很强的拟合能力。只要至少有一个隐藏层，一些常见的连续的非线性函数都可以使用前馈神经网络近似。

将通用近似定理应用到机器学习上，神经网络就可以当做一个万能函数来使用，可以用来进行复杂的特征转换，或逼近一个复杂的条件分布。

每一个函数f都是可以进行一个特征转换，直到最后经过分类器g。最后得到我们需要的参数 $\theta$ 。他们都可以作为激活函数。中间的激活函数一般用ReLU。

3. 反向传播算法

先说训练参数的方法，再先就是确定损失函数。

其中是一个正则化项。是一个F范数，是用来减轻过拟合的。F范数是矩阵范数的一种，他是矩阵元素绝对值平方和再开方。

加入上图是一个神经网络，第一层有n个神经元，第二层有m层神经元。则这两层间的W有n*w个。第三个又有多少神经元……从最左到最优，所有的W就会组成一个矩阵，对于这个矩阵，我们可以用F范数作为他的正则化项。 $\lambda$ 是一个正超参数，当他越大，W越接近于0。

在定义了损失函数后，我们就可以通过梯度下降法来优化参数。

当有l层时，我们需要对每一层的W都有一个更新。

用链式法则逐一的对参数求导是很低效率的。可以采用反向传播算法来高效的实现求导。

链式法则：

反向传播也是在链式法则的基础上实现的。

假如现在的神经网络是上图这样，当我们按照经过一层输入层，再经过隐藏层进行正向传播后，我们就可以开始反向传播了。

设总体的误差为两个神经元的和。Et = E1 + E2。分别算出两个神经元的误差后，得出总体的误差。

反向传播算法看了很多网课，我也很难了解本质。之后再总结。

4. 自动梯度计算

1. 在进行数值微分的时候，为了减少舍入的误差。将deta x 扩大为两倍。

2. 符号微分：先化简再求导。

3. 自动微分：利用链式法则自动计算复合函数的梯度。

比如把公式转为图的形式解释：

公式：

如果一个参数有多条路径，则要把每个路径相加。

因为输入到输出过程中，维度可能增加也可能减少，当减少时，适合反向传播，增加则适合正向传播，我们一般都是减少为维度的过程，因此一般都是用反向传播。

5. Himmelblau函数求极小值（实战）

import tensorflow as tf
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import  cm

def himmelblau(x):
    # x : [x[0],x[1]]
    return (x[0]**2 + x[1] - 11)**2 + (x[0]+x[1]**2 - 7)**2

x = np.arange(-6,6,0.1)
y = np.arange(-6,6,0.1)
x.shape,y.shape

X,Y = np.meshgrid(x,y) #形成坐标矩阵

Z = himmelblau([X,Y])
Z

fig = plt.figure('himmelblau')
ax = fig.gca(projection='3d')
ax.plot_surface(X,Y,Z)
ax.view_init(60,30)
plt.show()

# 参数初始化
x = tf.constant([4.,0.0])

lr = 0.01
for t in range(100):
    with tf.GradientTape() as tape:
        tape.watch(x)
        y = himmelblau(x)
        grads = tape.gradient(y,x)
    x = x - lr*grads
x,y

6. 全连接神经网络MNIST分类（实战）

建立了三层网络模型，输入层784个神经元，第一个隐藏层256个神经元，第二个隐藏层128个神经元，输出层10。标签通过one-hot编码，转变为一个向量。

权重和偏执的维度：

完整代码：

import tensorflow as tf
import matplotlib.pyplot as plt

tf.__version__

#输入层 h0 784
# w1
#隐藏层 h1 256
# w2
#隐藏层 h2 128
# w3
#输出层 h3 10

# 初始化参数
w1 = tf.Variable(tf.random.truncated_normal([784,256] , stddev = 0.1) ) #truncated_normal 有截断的正态分布
w2 = tf.Variable(tf.random.truncated_normal([256,128] , stddev = 0.1))
w3 = tf.Variable(tf.random.truncated_normal([128,10] , stddev = 0.1))

b1 = tf.Variable(tf.zeros([256]))
b2 = tf.Variable(tf.zeros([128]))
b3 = tf.Variable(tf.zeros([10]))
b1.shape

(x_train, y_train), (x_test, y_test) = tf.keras.datasets.mnist.load_data()
x_train.shape , y_train.shape , x_test.shape , y_test.shape

#x值都是0-255之间的，我们想让他先变为0到1之间。并且想数据类型为浮点数。
x_train = tf.convert_to_tensor(x_train , dtype = tf.float32)/255.
y_train = tf.convert_to_tensor(y_train,dtype=tf.int32)

# 把训练集拉平，并且转换为tensor类型。
x_train = tf.reshape( x_train ,[-1,784] )
max(x_train[0])

# h1: net(z = wx+b ) out1( ReLU(z) )
# [60000,784]@[784,256] + [256]
net1 = x_train@w1 + tf.broadcast_to(b1 , [x_train.shape[0],256])
# net1是输入层的输出，其作为输入再次进入第一个隐藏层的特征
out1 = tf.nn.relu(net1)

# [60000,256]@[256,128] + [128]
net2 = out1@w2 + b2
out2 = tf.nn.relu(net2)

# [60000,128]@[128,10] + [10]
net3 = out2@w3 + b3
out3 = tf.nn.softmax(net3)

y_train = tf.one_hot(y_train,depth=10)

loss = tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(labels = y_train,logits = out3)
loss

#原本是在每个值上做了个对比，我们想求出一个平均
loss = tf.reduce_mean(loss)
loss

with tf.GradientTape() as tape:
    tape.watch([w1,b1,w2,b2,w3,b3])
    out1 = tf.nn.relu(x_train@w1 + b1)
    out2 = tf.nn.relu(out1@w2 + b2)
    out3 = tf.nn.softmax(out2@w3 + b3)
    loss = tf.reduce_mean(tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(labels = y_train,logits = out3))
grads = tape.gradient(loss , [w1,b1,w2,b2,w3,b3])


lost_list = []

lr = 0.1

#更新参数
#w = w - lr*grads
w1.assign_sub(lr*grads[0])
b1.assign_sub(lr*grads[1])
w2.assign_sub(lr*grads[2])
b2.assign_sub(lr*grads[3])
w3.assign_sub(lr*grads[4])
b3.assign_sub(lr*grads[5])

for step in range(3000):
    with tf.GradientTape() as tape:
        tape.watch([w1,b1,w2,b2,w3,b3])
        out1 = tf.nn.relu(x_train@w1 + b1)
        out2 = tf.nn.relu(out1@w2 + b2)
        out3 = tf.nn.softmax(out2@w3 + b3)
        loss = tf.reduce_mean(tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(labels = y_train,logits = out3))
    grads = tape.gradient(loss , [w1,b1,w2,b2,w3,b3])
    #更新梯度
    w1.assign_sub(lr*grads[0])
    b1.assign_sub(lr*grads[1])
    w2.assign_sub(lr*grads[2])
    b2.assign_sub(lr*grads[3])
    w3.assign_sub(lr*grads[4])
    b3.assign_sub(lr*grads[5])
    #输出
    lost_list.append(loss)
    if step % 100 == 1:
        print(step ,"loss: ",float(loss))

plt.plot(lost_list)

x_test = tf.convert_to_tensor(x_test , dtype=tf.float32)/255
y_test = tf.convert_to_tensor(y_test , dtype=tf.int32)

x_test  = tf.reshape(x_test , [-1,784])

out1 = tf.nn.relu(x_test@w1 + b1)
out2 = tf.nn.relu(out1@w2 + b2)
out3 = tf.nn.softmax(out2@w3 + b3)

y_predict =  tf.math.argmax(out3,axis=-1)
y_predict = tf.cast(y_test,tf.int32)

result = tf.equal(y_predict,y_test)
result = tf.cast(result , dtype=tf.int32)
true_sum = tf.reduce_sum(result)
accuracy = true_sum/len(y_test)
accuracy

最后在测试集上的正确率为 100%。注意此代码用的是批量随机梯下降法。

因此计算速度偏低

可以使用小批量随机梯度下降法

在tensorflow中有专门的batch方式

# batch_size

batchDataset = tf.data.Dataset.from_tensor_slices((x_train , y_train)).batch(128)
train_iter = iter(batchDataset)
sample = next(train_iter) #取值
sample[0].shape, sample[1].shape