曲线相似度衡量——曲线距离计算Fréchet distance详解与python计算

论文可以参考：理论推导Eiter, Thomas, and Heikki Mannila. “Computing discrete Fréchet distance.” (1994).便于计算的离散距离求解Alt, Helmut, and Michael Godau. “Computing the Fréchet distance between two polygonal curves.” In

呆萌的代Ma

19407人浏览 · 2022-02-14 16:02:34

呆萌的代Ma · 2022-02-14 16:02:34 发布

弗朗明歇距离（Fréchet distance）论文可以参考：

理论推导
Eiter, Thomas, and Heikki Mannila. “Computing discrete Fréchet distance.” (1994).

便于计算的离散距离求解
Alt, Helmut, and Michael Godau. “Computing the Fréchet distance between two polygonal curves.” International Journal of Computational Geometry & Applications 5.01n02 (1995): 75-91.

含义

这个图能够形象说明Fréchet distance的含义：一个人牵着一条狗，共同走到目的地，尝试求：狗链子的最短值
在这里插入图片描述

算法思路

首先Fréchet distance是计算两个序列之间的最大差值，因此它是一个值，且是距离的最大值，不考虑曲线走势相似性等指标，公式如下：
一个最简单的方法是遍历两个序列的每一对点，计算最大值即可。但是由于两个序列可能是不对齐的，因此需要先找到一条路径，然后在比较两个序列的每一对点，取最大值。核心就是：对齐序列
Fréchet distance对齐的方法与DTW神似，可以参考：DTW（动态时间归整）算法与DTW，fastDTW的python算例

在这里插入图片描述
4. Fréchet distance认为：在两个不同采样点的序列中，尝试找到一种，能使彼此配对的值的距离的和最小的路径，这条路径就是核心路径，配对的过程是：
- 捏着线段A的一个待匹配的点（如下图的点d）
- 首先判断 min( ab, ac, bd)
- 在上面的min的优胜者与dc比较，选择这两个中的最大的值，作为真实的配对点
- 因此下图中目测配对的是bd（假如bd应该比ac短）

在这里插入图片描述
5. 在计算时，使用递归的方法可以在寻找路径的同时计算距离，代码详解与示例参考下面的内容

示例代码

import numpy as np


def cal_frechet_distance(curve_a: np.ndarray, curve_b: np.ndarray):
    # 距离公式，两个坐标作差，平方，累加后开根号
    def euc_dist(pt1, pt2):
        return np.sqrt(np.square(pt2[0] - pt1[0]) + np.square(pt2[1] - pt1[1]))

    # 用递归方式计算，遍历整个ca矩阵
    def _c(ca, i, j, P, Q):  # 从ca左上角开始计算，这里用堆的方法把计算序列从右下角压入到左上角，实际计算时是从左上角开始
        if ca[i, j] > -1:
            return ca[i, j]
        elif i == 0 and j == 0:  # 走到最左上角，只会计算一次
            ca[i, j] = euc_dist(P[0], Q[0])
        elif i > 0 and j == 0:  # 沿着Q的边边走
            ca[i, j] = max(_c(ca, i - 1, 0, P, Q), euc_dist(P[i], Q[0]))
        elif i == 0 and j > 0:  # 沿着P的边边走
            ca[i, j] = max(_c(ca, 0, j - 1, P, Q), euc_dist(P[0], Q[j]))
        elif i > 0 and j > 0:  # 核心代码：在ca矩阵中间走，寻找对齐路径
            ca[i, j] = max(min(_c(ca, i - 1, j, P, Q),  # 正上方
                               _c(ca, i - 1, j - 1, P, Q),  # 斜左上角
                               _c(ca, i, j - 1, P, Q)),  # 正左方
                           euc_dist(P[i], Q[j]))
        else:  # 非法的无效数据，算法中不考虑，此时 i<0,j<0
            ca[i, j] = float("inf")
        return ca[i, j]

    # 这个是给我们调用的方法
    def frechet_distance(P, Q):
        ca = np.ones((len(P), len(Q)))
        ca = np.multiply(ca, -1)
        dis = _c(ca, len(P) - 1, len(Q) - 1, P, Q)  # ca为全-1的矩阵，shape = ( len(a), len(b) )
        return dis

    # 这里构造计算序列
    curve_line_a = list(zip(range(len(curve_a)), curve_a))
    curve_line_b = list(zip(range(len(curve_b)), curve_b))
    return frechet_distance(curve_line_a, curve_line_b)


if __name__ == '__main__':
    a_array = np.array([2, 4, 6, 8])
    b_array = np.array([2, 3, 4, 6, 5, 7, 8])
    result = cal_frechet_distance(a_array, b_array)
    print(result)  # 打印结果