引言

• 该文只是简单为本人学习交叉熵损失函数以及focal loss等相关问题的一个补充，所以介绍的不够全面，待后续持续补充

一句话概括就是：

BCE用于“是不是”问题，例如LR输出概率，明天下雨or不下雨的概率；CE用于“是哪个”问题，比如多分类问题。

BCE与CE表达形式：

BCE：BCE+sigmoid

• sigmoid一般用于二分类问题,下方y^即为sigmoid形式(单个样本)
  $$\hat{y}=\frac{1}{1+e^{-Z}}\text{\hspace{1em}(1.1)}$$
  $$Z=wx\text{\hspace{1em}(1.2)}$$
  $$L_{BCE}=-[y\ast \ln \hat{y}+(1-y)\ln (1-\hat{y})]\text{\hspace{1em}(1.3)}$$
• 这个就是交叉上损失函数一般见到的形式，y是真实标签值，y^是估计值
• 可以参考参考资料，本文是交叉熵损失函数的补充，此处不做细节展示。

CE：CE+softmax

• softmax函数是sigmoid函数的一个延伸，用于多分类(单个样本)
  $$\hat{y}=\frac{e^{-x_i}}{{\sum }_{k=1}^n{e}^{-x_k}}\text{\hspace{1em}(2.1)}$$
• k是样本编号，i是样本类别，因为场景是多分类
  $$L_{CE}=-y\ln \hat{y}\text{\hspace{1em}(2.2)}$$
• 注意多分类中y是one-hot编码

关于CE损失函数的梯度变化

• 下图为多个样本的情况推导，BCE的推导可以看参考资料
  

总结

• 在分类问题中，如果遇到类别间不互斥的情况，只能采用“sigmoid+BCE”；如果遇到类别间互斥的情况（只能有一类胜出），“sigmoid+BCE”化为多个二分类问题与“softmax+CE”直接进行分类都是有被用到的方法
• 仅看损失形式上，BCE好像既考虑了正样本损失又考虑了负样本的损失，而CE只考虑了正样本损失。 但其实，二者所使用的激活函数不同，前者使用sigmoid，后者使用softmax，softmax其形式上本身就考虑负类的信息在里面。
• CE在二分类情况下本质上和BCE没有太大的区别，但可能优化上有细微不同。

参考资料

• 本文参考资料
  https://zhuanlan.zhihu.com/p/471360465
  https://zhuanlan.zhihu.com/p/421830591
• 相关文章（交叉熵&focal loss&ghm）
  https://blog.csdn.net/Lian_Ge_Blog/article/details/125979891?spm=1001.2014.3001.5501
  https://blog.csdn.net/Lian_Ge_Blog/article/details/126060517?spm=1001.2014.3001.5501