目录滑模控制的一点笔记和看法
1【控制】滑动模型控制(Sliding Mode Control)
2【控制】滑模控制,小例子,有程序有结果图
3【控制】滑模控制,滑模面的选择

1 问题描述

假设存在一个被控系统
x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = u (1) \begin{aligned} \dot{x}_1 &= x_2 \\ \dot{x}_2 &= u \end{aligned} \tag{1} x˙1x˙2=x2=u(1)

设计滑模面为
s = c x 1 + x 2 (2) s = c x_1 + x_2 \tag{2} s=cx1+x2(2)

那么问题就是滑模面是什么?为什么要写成这种形式?

2 滑模面

滑模面一般可以设计为如下的形式
s ( x ) = ∑ i = 1 n − 1 c i x i + x n (3) s(x) = \sum_{i=1}^{n-1} c_i x_i + x_n \tag{3} s(x)=i=1n1cixi+xn(3)

在滑模控制中,要保证多项式 p n − 1 + c n p n − 2 + ⋯ + c 2 p + c 1 p^{n − 1} + c_n p^{n − 2} + \cdots + c_2 p + c_1 pn1+cnpn2++c2p+c1 为Hurwitz (简单来说这条条件是为了满足状态在 s = 0 s=0 s=0 的滑模面上可以收敛)。什么是Hurwitz,即上述多项式的特征值的实数部分在左半平面,即为负。

下面举例说明:
n = 2 n=2 n=2 时, s ( x ) = c 1 x 1 + x 2 s ( x ) = c_1 x_1 + x_2 s(x)=c1x1+x2,为了保证多项式 p + c 1 p+c_1 p+c1 为Hurwitz,需要多项式 p + c 1 = 0 p+c_1=0 p+c1=0 的特征值实数部分为负,即 c 1 > 0 c_1>0 c1>0

接着明确一下,控制器的目的是为了使得状态 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2 均达到零,我们令 s = 0 s=0 s=0,分析一下结果有
{ c x 1 + x 2 = 0 x ˙ 1 = x 2    ⇒    c x 1 + x ˙ 1 = 0    ⇒    { x 1 ( t ) = e − c t x 1 ( 0 ) x 2 ( t ) = x ˙ 1 ( t ) = − c x 1 ( 0 ) e − c t (4) \left\{\begin{aligned} &cx_1 + x_2 = 0 \\ &\dot{x}_1 = x_2 \end{aligned}\right. ~~ \Rightarrow ~~ c x_1 + \dot{x}_1 = 0 ~~ \Rightarrow ~~ \left\{\begin{aligned} &x_1(t) = \text{e}^{-ct} x_1(0) \\ &x_2(t) = \dot{x}_1(t) = -c x_1(0) \text{e}^{-ct} \end{aligned}\right. \tag{4} {cx1+x2=0x˙1=x2    cx1+x˙1=0    {x1(t)=ectx1(0)x2(t)=x˙1(t)=cx1(0)ect(4)

通过式 (4) 可以看到状态 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2 最终都是趋向于零的,而且速度是以指数速率趋紧的。指数速率意味着当 t = 1 / c t=1/c t=1/c 时,趋零过程完成 63.2 % 63.2\% 63.2%,当 t = 3 / c t=3/c t=3/c 时,趋零过程完成 95.021 % 95.021\% 95.021%。那么我们通过调节参数 c c c 的大小即可实现对趋零速度的调节, c c c 越大,速度越快。

因此如果满足了 s = c x 1 + x 2 = 0 s=cx_1 + x_2=0 s=cx1+x2=0,那么系统的状态 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2 也将沿着滑模面趋近于零 ( s = 0 s=0 s=0 称之为滑模面)。

3 趋近律

上述过程介绍了如果 s = 0 s=0 s=0 那么状态变量 x 1 , x 2 x_1, x_2 x1,x2 就会趋近于零,那么接下来考虑如何保证 s = 0 s=0 s=0。也就是控制器 u u u 将出现了。

针对式 (2) 的滑模面,其中并没有控制器 u u u,我们可以对式 (2) 取微分那么有
s ˙ = c x ˙ 1 + x ˙ 2 = c x 2 + u (5) \begin{aligned} \dot{s} &= c \dot{x}_1 + \dot{x}_2 \\ &= c x_2 + u \end{aligned} \tag{5} s˙=cx˙1+x˙2=cx2+u(5)

这时我们得到了 u u u 的一个式子。但是怎么与状态 x 1 , x 2 x_1, x_2 x1,x2 建立联系呢?

解决办法就是已经规整好的趋近律。趋近律就是指的 s ˙ \dot{s} s˙ 的一个显式表达式,一般有

s ˙ = { − ϵ  sgn ( s ) ,      ϵ > 0 − ϵ  sgn ( s ) − k s ,      ϵ > 0 , k > 0 − k ∣ s ∣ α  sgn ( s ) − k s ,      k > 0 , 0 < α < 1 (6) \dot{s} = \left\{\begin{aligned} &-\epsilon ~\text{sgn}(s), ~~~~\epsilon > 0 \\ &-\epsilon ~\text{sgn}(s) - k s, ~~~~\epsilon > 0, k>0 \\ &-k |s|^\alpha ~\text{sgn}(s) - k s, ~~~~k>0, 0<\alpha<1 \end{aligned}\right. \tag{6} s˙= ϵ sgn(s),    ϵ>0ϵ sgn(s)ks,    ϵ>0,k>0ksα sgn(s)ks,    k>0,0<α<1(6)

其中 sgn ( s ) \text{sgn}(s) sgn(s) 是符号函数, s > 0 , sgn ( s ) = 1 ; s < 0 , sgn ( s ) = − 1 ; s = 0 , sgn ( s ) = 0 s>0, \text{sgn}(s)=1; s<0, \text{sgn}(s)=-1; s=0, \text{sgn}(s)=0 s>0,sgn(s)=1;s<0,sgn(s)=1;s=0,sgn(s)=0

结合趋近律式 (6) 和式 (2) 滑模面的微分,我们就可以得到控制器 u u u 的代数方程表达式。

4 不同趋近律

令式 (2) 中的参数 c c c 为2,我们研究不同趋近律的效果。
c = 2 c=2 c=2 代入式 (5) 有

s ˙ = 2 x 2 + u (7) \begin{aligned} \dot{s} &= 2 x_2 + u \end{aligned} \tag{7} s˙=2x2+u(7)

4.1 − ϵ  sgn ( s ) -\epsilon ~\text{sgn}(s) ϵ sgn(s)

趋近律取 − ϵ  sgn ( s ) -\epsilon ~\text{sgn}(s) ϵ sgn(s)
s ˙ = 2 x 2 + u = − ϵ  sgn ( s ) ⇒ u = − ϵ  sgn ( s ) − 2 x 2 (8) \begin{aligned} \dot{s} &= 2 x_2 + u = - \epsilon ~ \text{sgn}(s) \\ & \Rightarrow u = - \epsilon ~ \text{sgn}(s) - 2 x_2 \end{aligned} \tag{8} s˙=2x2+u=ϵ sgn(s)u=ϵ sgn(s)2x2(8)

代入式 (1) 系统变为

x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = − ϵ  sgn ( s ) − 2 x 2 (9) \begin{aligned} \dot{x}_1 &= x_2 \\ \dot{x}_2 &= - \epsilon ~ \text{sgn}(s) - 2 x_2 \end{aligned} \tag{9} x˙1x˙2=x2=ϵ sgn(s)2x2(9)

在这里插入图片描述

4.2 − ϵ  sgn ( s ) − k s -\epsilon ~\text{sgn}(s) - ks ϵ sgn(s)ks

趋近律取 − ϵ  sgn ( s ) − k s -\epsilon ~\text{sgn}(s) - ks ϵ sgn(s)ks
s ˙ = 2 x 2 + u = − ϵ  sgn ( s ) − k s ⇒ u = − ϵ  sgn ( s ) − k s − 2 x 2 (10) \begin{aligned} \dot{s} &= 2 x_2 + u = -\epsilon ~\text{sgn}(s) - ks \\ & \Rightarrow u = -\epsilon ~\text{sgn}(s) - ks - 2 x_2 \end{aligned} \tag{10} s˙=2x2+u=ϵ sgn(s)ksu=ϵ sgn(s)ks2x2(10)

代入式 (1) 系统变为

x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = − ϵ  sgn ( s ) − k s − 2 x 2 (11) \begin{aligned} \dot{x}_1 &= x_2 \\ \dot{x}_2 &= -\epsilon ~\text{sgn}(s) - ks - 2 x_2 \end{aligned} \tag{11} x˙1x˙2=x2=ϵ sgn(s)ks2x2(11)

在这里插入图片描述

4.3 − k ∣ s ∣ α sgn ( s ) − k s -k |s|^\alpha \text{sgn}(s) - ks ksαsgn(s)ks

趋近律取 − k ∣ s ∣ α sgn ( s ) − k s -k |s|^\alpha \text{sgn}(s) - ks ksαsgn(s)ks
s ˙ = 2 x 2 + u = − k ∣ s ∣ α sgn ( s ) − k s ⇒ u = − k ∣ s ∣ α sgn ( s ) − k s − 2 x 2 (12) \begin{aligned} \dot{s} &= 2 x_2 + u = -k |s|^\alpha \text{sgn}(s) - ks \\ & \Rightarrow u = -k |s|^\alpha \text{sgn}(s) - ks - 2 x_2 \end{aligned} \tag{12} s˙=2x2+u=ksαsgn(s)ksu=ksαsgn(s)ks2x2(12)

代入式 (1) 系统变为

x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = − k ∣ s ∣ α sgn ( s ) − k s − 2 x 2 (13) \begin{aligned} \dot{x}_1 &= x_2 \\ \dot{x}_2 &= -k |s|^\alpha \text{sgn}(s) - ks - 2 x_2 \end{aligned} \tag{13} x˙1x˙2=x2=ksαsgn(s)ks2x2(13)

在这里插入图片描述


上述仿真过程所用的程序如下:

clear
clc

x_1(:,1) = 1;
x_2(:,1) = 2;

% Gains
c = 2;
epsilon = 1;
k = 1;
alpha = 0.5;

%%    
tBegin = 0;
tFinal = 100;
dT = 0.05;
times = (tFinal - tBegin) / dT;
t(1,1) = tBegin;

for i = 1:times
    % record time
    t(:,i+1) = t(:,i) + dT;
    
    % slide model plane
    s = c*x_2(:,i) + x_1(:,i);
    
    % control input
    u = -epsilon * sign(s) - 2 * x_2(:,i);
    u = -epsilon * sign(s) - k * s - 2 * x_2(:,i);
    u = -k * abs(s)^alpha * sign(s) - k * s - 2 * x_2(:,i);
    
    % update states
    dot_x_2 = u;
    x_2(:,i+1) = x_2(:,i) + dT * dot_x_2;
    dot_x_1 = x_2(:,i+1);
    x_1(:,i+1) = x_1(:,i) + dT * dot_x_1;
end

%%
plot(t,x_1, t,x_2, 'linewidth',1.5);
legend('$x_1$', '$x_2$', 'interpreter','latex');
grid on;

Ref.

  1. 滑模控制器最强解析
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