问题

在三维空间中，计算一个向量$v$（或点$v$）绕另一个向量$u$旋转$\theta$角后的坐标。

方法

罗德里格旋转公式(Rodrigues’ Rotation Formula)：
$$v^{\prime }=vcos\theta +u\times vsin\theta +(u\cdot v)u(1-cos\theta )$$
公式推导可见 旋转之二 - 三维空间中的旋转:罗德里格旋转公式

示例代码

下面的代码是计算点$v$绕向量$u$旋转360°之后的点集。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt 
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

def RodriguesRotate(v:np.ndarray,u:np.ndarray,theta:float)->np.ndarray:
    '''向量v绕向量u旋转角度θ,得到新的向量P_new
    罗德里格斯旋转公式:v' = vcosθ + (u×v)sinθ + (u·v)u(1-cosθ) 
    
    args:
        v:向量,维度为(3,)
        u:作为旋转轴的向量,维度为(3,)
        theta:旋转角度θ,此处默认为角度值
    returns:
        v_new:旋转后得到的向量,维度为(3,)
    '''
    u = u/np.linalg.norm(u) # 计算单位向量
    sin_theta = np.sin(theta*np.pi/180)
    cos_theta = np.cos(theta*np.pi/180)
    v_new = v*cos_theta + np.cross(u,v)*sin_theta + np.dot(u,v)*u*(1-cos_theta)
    return v_new

v = np.array([1.1,1.5,2])
u = np.array([1,2,3])
ax = plt.gca(projection='3d')
ax.set_xlim([0,3])
ax.set_ylim([0,3])
ax.set_zlim([0,3])
ax.quiver(0,0,0,u[0],u[1],u[2])
V = np.zeros([360,3])
V[0] = v
for theta in range(1,360):
    V[theta]= RodriguesRotate(v,u,theta)
ax.scatter(V[:,0],V[:,1],V[:,2],c='cyan')
plt.show()

结果