设$X$，$Y$相互独立，且分别服从${\chi }^2(m)$和${\chi }^2(n)$，则$\frac{X}{Y}$~$F(m-1,n-1)$，即$\frac{X}{Y}$服从自由度为$m$和$n$的$F$分布。服从$F(m-1,n-1)$分布的随机变量$X$的概率密度函数为
$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\Gamma \left(\frac{m+n}{2}\right){\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}{x}^{\frac{m}{2}-1}}{\Gamma \left(\frac{m}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)(1+\frac{m}{n}x{)}^{\frac{m+n}{2}}}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$$
下图展示了$F$分布的自由度$(m,n)$的几个不同组合的密度函数图像。

对应给定的显著水平$\alpha$，单侧右分位点$F_{\alpha }(m,n)$满足$P(X\ge F_{\alpha }(m,n))=\alpha$，如下图所示。

单侧左分位点记为$F_{1-\alpha }(m,n)$，满足$P(X\ge F_{1-\alpha }(m,n))=1-\alpha$，如下图所示。

而双侧左右分位点$F_{1-\alpha /2}(m,n)$和$F_{\alpha /2}(m,n)$满足$P(F_{1-\alpha /2}(m,n)(<X<F_{\alpha /2}(m,n))\ge 1-\alpha$，如下图所示

Python的scipy.stats包中，连续型分布类 rv_continuous的f对象表示$F$分布，常用函数的调用接口见下表。

例1 设检验水平$\alpha =0.05$，计算自由度$m=12$，$n=9$的$F$分布的单侧分位点和双侧分位点。
解：下列代码完成本例计算。

from scipy.stats import f                           #导入f
m=12                                                #设置自由度m
n=9                                                 #设置自由度n
alpha=0.05                                          #设置alpha
a=f.ppf(q=alpha, dfn=m, dfd=n)                      #单侧左分位点
b=f.isf(q=alpha, dfn=m, dfd=n)                      #单侧右分位点
print('单侧左、右分位点：a=%.4f, b=%.4f'%(a, b))
a, b=f.interval(1-alpha, dfn=m, dfd=n)              #双侧分位点
print('双侧左、右分位点：a=%.4f, b=%.4f'%(a, b))

运行程序，输出

单侧左、右分位点：a=0.3576, b=3.0729
双侧左、右分位点：a=0.2910, b=3.8682

写博不易，敬请支持：
如果阅读本文于您有所获，敬请点赞、评论、收藏，谢谢大家的支持！
代码诚可贵，原理价更高。若为AI学，读正版书好。
返回《导引》