理解多个预测变量与连续响应变量之间关系通常适用线性回归，但当响应变量为类别变量时需要适用逻辑回归。
逻辑回归是尝试从数据集中把W观测记录分为不同类别的分类算法。

常见的分类回归场景有：

• 通过信用分和账户余额预测客户贷款是否违约
• 通过篮球比赛中平均抢得篮板球次数及平均每场得分预测是否被NBA选中
• 通过特定城市的房屋大小及盥洗室数量预测房价是否为200w以上

相比于线性回归的响应值是连续变量，上述示例的响应变量仅包括两个值中的一个。

逻辑回归方程

逻辑回归使用最大似然估计方法寻找下面方程：

$lo{g}^{[p(X)/(1-p(X))]}={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+\dots +{\beta }_p{X}_p$

参数说明：

• $X_j:第j^{th}个预测变量$

• ${\beta }_j:第j^{th}个预测变量的预测系数$

方程右边的公式预测了响应变量取值为1的对数概率。因此，当我们拟合逻辑回归模型时，我们可以使用以下公式来计算给定观测值为1的概率:

$p(X)=e^{{\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+\dots +{\beta }_p{X}_p}/(1+e^{{\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+\dots +{\beta }_p{X}_p)}$

然后使用特定概率阈值对观测值进行分类：1或0。举例：观测概率大等于0.5则为1，反之为0。

如何解释逻辑回归响应值

假设我们使用逻辑回归模型来预测一个给定的篮球运动员是否会被NBA选中，基于他们的场均篮板和场均得分。

下面是逻辑回归模型的输出：

Item	Coefficient	Std. Error	Z-statistic	P-value
Intercept	-2.8690	0.1485	-19.3199	<0.0001
Rebounds	0.0698	0.0161	4.3235	<0.0001
Points	0.1694	0.0299	5.6734	<0.0001

使用上述系数，我们可以计算指定运动员被选人NBA的概率：

$P(Drafted)=e^{-2.8690+0.0698\ast (rebs)+0.1694\ast (points)}/(1+e^{-2.8690+0.0698\ast (rebs)+0.1694\ast (points)})$

假设某运动员场均为8个篮板、得15分，则计算结果为0.557，既然大于0.5，则预测结果为被选入NBA;

相比另一个运动员场均3个篮板、得7分，则计算结果为0.186，既然小于0.5，则预测结果不会被选人NBA.

逻辑回归假设前提

逻辑回归需遵循下面一些假设：

1. 响应变量为二值，即响应变量只能有两种可能。
2. 观测数据集是相互独立的。即观察结果不应该来自于对同一个体的重复测量，也不应该以任何方式相互关联。
3. 预测变量之间不存在严重的多重共线性，即假设预测变量之间不存在高度相关。
4. 没有极端的异常值。假设在数据集中没有极端的异常值或有影响的观察结果。
5. 预测变量与响应变量的logit之间存在线性关系。这个假设可以使用Box-Tidwell测试进行测试。
6. 样本量足够大。作为经验法则，每个解释变量应该有至少10个最不常见的结果。例如，如果你有3个解释变量，而最不常见结果的期望概率是0.20，那么你的样本量应该至少为(10*3)/ 0.20 = 150。

示例

载入必要的包

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn import metrics
import matplotlib.pyplot as plt

加载数据

使用下面代码加载数据：

data = pd.read_csv("data/default.csv")

# view first six rows of dataset
print(data[0:6])

# find total observations in dataset
print(len(data.index))

输出结果：

   default  student      balance        income
0        0        0   729.526495  44361.625074
1        0        1   817.180407  12106.134700
2        0        0  1073.549164  31767.138947
3        0        0   529.250605  35704.493935
4        0        0   785.655883  38463.495879
5        0        1   919.588530   7491.558572
10000

数据集包含10000条客户信息，共四列：

default: 响应变量，是否违约.
student: 是否为学生.
balance: 平均余额.
income: 收入情况.

我们将使用其他三个变量预测是否违约:default字段。

创建测试集和训练集

下面把原数据集分为测试集和训练集：

# 定义预测变量和响应变量
x = data[['student', 'balance', 'income']]
y = data['default']

# split the dataset into training (70%) and testing (30%) sets
x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(x,y,test_size=0.3,random_state=0)  

拟合逻辑回归模型

我们使用LogisticRegression()函数拟合模型：

# 实例化模型对象
log_regression = LogisticRegression()

# 使用训练数据拟合模型
log_regression.fit(x_train, y_train)

# 使用测试数据进行预测
y_pred = log_regression.predict(x_test)


# 输出模型参数
print(log_regression.intercept_, log_regression.coef_, log_regression.score(x_train, y_train))
# [-2.86843745] [[-3.79999456e+00  4.03495132e-03 -1.36823955e-04]] 0.9691428571428572

模型诊断

测试完成后，我们需要分析模型表现. 首先创建混淆矩阵：

cnf_matrix = metrics.confusion_matrix(y_test, y_pred)

print(cnf_matrix)

结果如下：

[[2870   17]
 [  93   20]]

• 正确预测不违约: 2870
• 正确预测真违约: 20
• 错误预测不违约: 93
• 错误预测真违约: 17

下面获取模型准确率，它表示模型的正确预测率：

print("Accuracy:", metrics.accuracy_score(y_test, y_pred))

# Accuracy: 0.9633333333333334

通过结果可以说明模型可以正确预测客户违约率为96.2% .

最后，我们可以绘制ROC (Receiver Operating Characteristic)曲线，该曲线显示模型预测的真阳性的百分比，随着预测概率的截止点从1降低到0。AUC(曲线下面积)越高，我们的模型预测结果就越准确: