1.全排列的价值

1.题目描述

对于一个排列 $A$=$\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)$, 定义价值 $c_i$为 $a_1$ 至 $a_{i-1}$中小于 $a_i$的数 的个数, 即 c i = ∣ { a j ∣ j < i , a j < a i } ∣   c_{i}=\mid\left\{a_{j} \mid j<i, a_{j}<a_{i}\right\} |_{\text { }} ci​=∣{aj​∣j<i,aj​<ai​}∣ ​ 定义 $A$ 的价值为 ${\sum }_{i=1}^n{c}_i$。给定 $n$, 求 $1$ 至 $n$ 的全排列中所有排列的价值之和。

2.输入格式

输入一行包含一个整数 $n$ 。

3.输出格式

输出一行包含一个整数表示答案, 由于所有排列的价值之和可能很大, 请 输出这个数除以 998244353 的余数。

4.样例输入1

3

5.样例输出2

2022

6.样例输出1

9

7.样例输出2

593300958

8.样例解释

1 至 3 构成的所有排列的价值如下:

$\begin{array}{rl}& (1,2,3):0+1+2=3\\ & (1,3,2):0+1+1=2\\ & (2,1,3):0+0+2=2\\ & (2,3,1):0+1+0=1\\ & (3,1,2):0+0+1=1\\ & (3,2,1):0+0+0=0\end{array}$
​
故总和为 $3+2+2+1+1=9$ 。

9.原题链接

全排列的价值

2.解题思路

  做过逆序对问题的话，明显可以看出对于任意一个排序，其价值等于逆序对的数量。考虑使用dp来进行递推，我们定义 $f(n)$ 为 $1$ 至 $n$ 的全排列中所有排列的价值之和，明显可以得到$f(1)=0，f(2)=1。$

  核心问题在于：如何从 $f(n-1)$ 递推得到 $f(n)$ 的值？我们以 $n$ 为 4 时来进行举例，仔细观察 $3$ 的全排列：
$$\begin{array}{rl}& (1,2,3)\\ & (1,3,2)\\ & (2,1,3)\\ & (2,3,1)\\ & (3,1,2)\\ & (3,2,1)\end{array}$$
此时我们在这些排列的基础上插入4，无论在哪个排列中插入4，都有4个插入的位置， 比如插入第一个排列$(1,2,3)$时可以得到下面这四种情况:
$$\begin{array}{rl}& (4,1,2,3)\\ & (1,4,2,3)\\ & (1,2,4,3)\\ & (1,2,3,4)\end{array}$$

我们每个排列只看元素4带来的贡献分别为 $0+1+2+3=6$，对于3的任何一个排列我们插入4带来的价值都一样，这是因为我们在 $n-1$ 的全排列插入$n$时，排列中的元素都严格小于$n$，所以我们当 $n$ 插入的位置之前有几个元素，则带来的价值就是几 。根据该推导可知：当在 $n-1$的任何一个排列中插入 $n$ 时，$n$ 带来的贡献则为 ${\sum }_{i=1}^{n-1}i$，也就是从 $1$ 累加到 $n-1$，我们可以使用高斯求和计算。当然这只是一个排列带来的价值，对于 $n$ 而言，它的全排列的数量为 $n!$，我们设 $g(n)$ 为 $n$ 的全排列的数量，也就是 $n$ 的阶乘。我们上述只考虑了 $n$ 给我们带来的价值，我们当然还得考虑其他数，对于排列$(1,2,3)$，在插入4后有四种情况，它自己也变成了4份，价值也相应变成了4倍，3的任何一个排列的价值都是如此，由此我们可以得知，当从 $f(n-1)$ 递推到 $f(n)$ 时，$f(n-1)$ 会变成 $n$ 倍，根据上述的推导我们可以得到递推转移公式：
$$f(n)=f(n-1)\times n+\frac{i\times (i-1)}{2}\times g(n-1)$$

当然答案很大，在推导过程中需要进行取模。

3. Ac_code

import java.io.*;

public class Main {
    static PrintWriter out=new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
    static BufferedReader br=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
    static long[] f=new long[1000010];
    static long[] g=new long[1000010];
    static int MOD=998244353;
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        int n=Integer.parseInt(br.readLine());
        f[1]=0;
        init(n);
        for (int i = 2; i <=n; i++) {
            f[i]=(f[i-1]*i%MOD+(long)i*(i-1)/2%MOD*g[i-1]%MOD)%MOD;
        }
        out.println(f[n]);
        out.flush();
    }
    static void init(int n){
        long h=1;
        for (int i = 1; i <=n; i++) {
            h*=i;
            h%=MOD;
            g[i]=h;
        }
    }
}