第二章 先验分布的选取

1.某居住地区明天室外的最高温度θ如下表所示：
温度／℃ 25~26 26~27 27~28 28~29 29~30 30~31
主观概率 0.10 0.15 0.25 0.30 0.15 0.05
用直方图方法求你对θ的主观先验密度．

3.用通过分位数确定先验分布的方法求习题1中的先验密度，并考虑：
（1)确定你对θ的先验密度的1/4和1/2分位数；
（2)找出配合这些分位数值的正态密度；
（3)你主观地决定θ的先验密度的0.8和0.9的分位数（不要用（2)中所得
的正态密度）．这些分位数与（2)中的正态分布基本一致吗？是否需要修改（2)中的正态密度？
4.将“正态分布”换为“柯西分布”，重复上题中的（2)与（3).注意，如果X~C(0,β)，则
P(0<X<s)=1/Πarctan(s/β)

6.设X1,…,Xn相互独立，且Xi服从泊松分布P(θi),i=1,…,n.若θ1…θn
是相互独立来自伽玛分布的样本Γ(r,λ)，求X=(Xi,…,Xn)的联
合边缘密度m(x).

7. 在上题中，设n=3,x1=3,x2=0,x3=5和r=4,找出ML-II先验．
   

9.设X服从指数分布Exp(θ),参数θ的先验分布为伽玛分布Γ(α,λ).令
X1,…,Xn为从边缘分布m(x|α,λ)中抽取的i.i.d.样本，由样本算得样本均值为2，样本方差为8,用选择先验分布的矩方法确定θ的先验分布．


10.说明以下分布族是否为位置参数族或刻度参数族，并给出其未知参数一
个无信息先验：
（1)均匀分布U(θ-1,θ+1);
（2)柯西分布C(0,β);
（3)自由度为n,位置参数为μ,刻度参数为σ的一元t分布密度（见定义
3.2.1)(n固定）；
（4)帕雷托分布 Pa(x0,α)(α固定）．

11.对以下每个分布中的未知参数使用Fisher信息量决定Jeffreys先验：
（1)泊松分布P(λ);
（2)负二项分布Nb(r,θ)(r已知）；
（3)指数分布 Exp(1/λ);
（4)伽玛分布Γ(α,λ)(α已知）；
（5)多项分布M(n,p),p=(p1,…,pk)(n已知）．

18.设X=(X1,…,Xn)是从均匀分布U(0,θ)中抽取的i.i.d.样本，又假设θ的先验分布是帕雷托分布，其密度函数为

其中θ0>0,α>0已知．证明帕雷托分布是U(0,θ)端点θ的共轭先验分布．