0. 问题

$$\{\begin{array}{rl}\frac{x^2}{4}+y^2& =1\\ (x-0.2{)}^2-y& =3\end{array}$$

对此非线性方程组，根据方程图像（如下图）可知，应有4组不同的解。以下尝试用不同的方法求出该方程组的解。

1. 利用gekko的GEKKO求解

"""利用gekko求解非线性方程组"""
from gekko import GEKKO

m = GEKKO()
x = m.Var(value=0)  # 给定初值为0
y = m.Var(value=0)  # 给定初值为0

m.Equations([x ** 2 / 4 + y ** 2 == 1,
             (x - 0.2) ** 2 - y == 3])
m.solve(disp=False)
x, y = x.value, y.value
print(x, y)

输出结果：

[-1.2961338938] [-0.7615833719]

换不同初值计算得到的结果如下：

[-1.6818042485] [0.54118722964] #  给定初值为(-2,0)
[1.9760411678] [0.15432222765] #  给定初值为(2,0)
[1.8018969861] [-0.43392604594] #  给定初值为(2,-2)
[1.9760412095] [0.15432236862] #  给定初值为(10,10)
[1.801896954] [-0.4339261545] #  给定初值为(10,-10)

可知，用这种方法并不能得到方程组的全部解，并且最终得到的解为其解集中与给定的初值“距离”较近的一个。

2. 利用scipy.optimize的fsolve求解

optimize库中的fsolve函数可以用来对非线性方程组进行求解。

from scipy.optimize import fsolve

def f(X):
    x = X[0]
    y = X[1]
    return [x ** 2 / 4 + y ** 2 - 1,
            (x - 0.2) ** 2 - y - 3]

X0 = [0, 0]
result = fsolve(f, X0)
print(result)

输出结果：

[-1.29613389 -0.76158337]

换不同初值计算得到的结果如下：

[-1.68180425  0.54118723] #  给定初值为(-2,0)
[1.97604116 0.15432219] #  给定初值为(2,0)
[ 1.80189699 -0.43392605] #  给定初值为(2,-2)
[1.97604116 0.15432219] #  给定初值为(10,10)
[ 1.80189699 -0.43392605] #  给定初值为(10,-10)

可知，用这种方法也不能得到方程组的全部解，并且最终得到的解与给定初值有关。

3. 利用scipy.optimize的root求解

from scipy.optimize import fsolve, root

def f(X):
    x = X[0]
    y = X[1]
    return [x ** 2 / 4 + y ** 2 - 1,
            (x - 0.2) ** 2 - y - 3]

X0 = [10, 10]
result1 = fsolve(f, X0)
result2 = root(f, X0)

print(result2)

输出结果：

   fjac: array([[-0.2547064 , -0.96701843],
       [ 0.96701843, -0.2547064 ]])
     fun: array([-3.34943184e-12,  2.75734990e-12])
 message: 'The solution converged.'
    nfev: 22
     qtf: array([-1.65320424e-10, -2.73193431e-10])
       r: array([-3.70991104,  0.8956477 ,  0.56891317])
  status: 1
 success: True
       x: array([1.97604116, 0.15432219])

结果与fsolve函数得到的结果相同。

4. 利用scipy.optimize的leastsq求解

from scipy.optimize import leastsq

def f(X):
    x = X[0]
    y = X[1]
    return [x ** 2 / 4 + y ** 2 - 1,
            (x - 0.2) ** 2 - y - 3]

X0 = [10, 10]
h = leastsq(f, X0)
print(h)

输出结果：

(array([1.97604116, 0.15432219]), 2)

5. 利用sympy的solve和nsolve求解

5.1 利用solve求解所有精确解

from sympy import symbols, Eq, solve, nsolve

x, y = symbols('x y')
eqs = [Eq(x ** 2 / 4 + y ** 2, 1),
       Eq((x - 0.2) ** 2 - y, 3)]

print(solve(eqs, [x, y]))

输出结果：

[[-1.68180424847377 + 1.56760579250585e-32*I
  0.541187229573922 - 3.01196919624356e-31*I]
 [-1.29613389377477 + 1.95607066863502e-32*I
  -0.761583371898353 + 3.93313832308616e-31*I]
 [1.80189698634479 - 1.95607066863926e-32*I
  -0.433926045139482 - 8.10475677027422e-31*I]
 [1.97604115590375 - 1.56760579250161e-32*I
  0.154322187463913 + 7.18358764343162e-31*I]]

可以看出，用这种方法能够得到方程组的全部解，并且为精确解，缺点是求解时间较长。

5.2 利用nsolve求解数值解

from sympy import symbols, Eq, nsolve
x, y = symbols('x y')
eqs = [Eq(x ** 2 / 4 + y ** 2, 1),
       Eq((x - 0.2) ** 2 - y, 3)]

X0 = [3, 4]
print(nsolve(eqs, [x, y], X0))

输出结果：

Matrix([[1.97604115590375], [0.154322187463913]])

nsolve为数值求解，需要指定一个初始值，初始值会影响最终得到哪一个解（如果有多解的话），而且初始值设的不好，则可能找不到解。

scipy.optimize.root求解速度快，但只能得到靠近初始值的一个解。对形式简单、有求根公式的方程，sympy.solve能够得到所有严格解，但当方程组变量较多时，它求起来会很慢。而且对于不存在求根公式的复杂方程，sympy.solve无法求解。