一、高斯过程简介

高斯过程是一种常用的监督学习方法，可以用于解决回归和分类问题。
高斯过程模型的优点有：

• 预测对观察结果进行了插值
• 预测的结果是概率形式的
• 通用性：可以指定不同的核函数（kernels）形式

高斯过程模型的确定包括：

• 它们不是稀疏的，即它们使用整个样本/特征信息来执行预测
• 高维空间模型会失效，高维也就是指特征的数量超过几十个

值得注意的是，高斯过程模型的优势主要体现在处理非线性和小数据问题上。

参考资料：https://scikit-learn.org/stable/modules/gaussian_process.html

二、高斯分布

1. 一元高斯分布

若一个随机变量$X$服从均值为$\mu$，方差为${\sigma }^2$的高斯分布，则将其写作$X\sim N(\mu ,\sigma )$，其概率密度函数形式为：
$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$
对于均值为0，方差为1的高斯分布可以画出其函数图像：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-5, 5, 10000)
y = 1.0/np.sqrt(2.0*np.pi)*np.exp(-1.0*np.power(x, 2)/2.0)
plt.plot(x, y)
plt.grid()

2. 多元高斯分布

对于任意维度的随机变量$X(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$，其高斯分布可以写作$X\sim N(\mu ,\sum )$，其中$\sum$为协方差矩阵，其概率密度函数形式为：
$$f(X)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^n|\sum |}}{e}^{-\frac{1}{2}(X-\mu {)}^T{\sum }^{-1}(X-\mu )}$$
其中协方差矩阵的形式为：
$$\left[\begin{array}{ccc}\sigma (x_1,x_1)& \cdots & \sigma (x_1,x_n)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \sigma (x_n,x_1)& \cdots & \sigma (x_n,x_n)\end{array}\right]$$
其中
$$\sigma (x_i,x_j)=\frac{{\sum }_{k=1}^c(x_i^k-\overline{x_i})(x_j^k-\overline{x_j})}{c-1}$$
其中c代表样本总数，协方差矩阵反映了不同变量之间的相关性大小，如果各个变量之间不相关，那么该矩阵为单位阵。关于多元高斯分布的一个重要性质就是：多元高斯分布的条件分布同样符合高斯分布。

参考资料：https://zhuanlan.zhihu.com/p/518236536

三、高斯过程回归

顾名思义，高斯过程回归就是通过高斯过程来求解回归问题，回归是指通过适当的建模来拟合一组自变量$X$和因变量$y$之间的函数关系，建模的方式有很多种，最常用的有线性回归，多项式回归等，高斯过程是其中的一种。

1. 高斯过程

将多元高斯分布推广到连续域上的无限维高斯分布，就得到了高斯过程。如下图所示，在时域$T$上，对于每一时刻$t_i$，相应的表观值都服从高斯分布，即是$t_i\sim N({\mu }_i,{\sigma }_i)$，那么对于整个时域$T$上的联合分布，满足多元高斯分布，即是
$$T(t_1,t_2,\cdots ,t_n)\sim N(\mu (t),\sum (t_i,t_j))$$
其中每个时刻的均值用一个均值函数刻画，两个不同时刻之间的相关性用一个协方差函数刻画。

因此我们只需要两个因素来确定一个高斯过程：

• 均值函数
• 协方差函数(矩阵)

2.高斯过程回归

高斯过程回归的是通过有限的高维数据来拟合出相应的高斯过程，从而来预测任意随机变量下的函数值。具体而言，对于一组随机变量$X_1,X_2,\cdots ,X_n$和目标值$y_1,y_2,\cdots y_n$，我们假设其服从多元高斯分布，即是：
$$[X_1,X_2,\cdots ,X_n]\sim N(y_1,y_2,\cdots ,y_n,\sum )$$
这其中的问题是需要确定协方差矩阵，它反映了不同采样点之间的相似性大小，合法的协方差矩阵要求是半正定的，因此这里我们需要指定相应的核函数来度量这一相似性，sklearn中提供了很多的核函数，后面介绍。确定了协方差矩阵之后，我们就能根据已有的数据确定变量空间中的无限维高斯分布，并且相应地能够确定任意采样点处的条件高斯分布，即是相应的概率分布，如下图所示：

具体推到过程参考以下三篇文章。

• 浅谈高斯回归
• 高斯过程 Gaussian Processes 原理、可视化及代码实现
• 快速入门高斯过程（Gaussian process）回归预测

四、sklearn中高斯过程回归的使用

1. 核函数的选择

前面已经说明，核函数的作用是描述不同采样点之间的相似性大小，sklearn中内置了很多核函数，如下图所示：

gaussian_process.kernels.CompoundKernel(kernels)	Kernel which is composed of a set of other kernels.
gaussian_process.kernels.ConstantKernel([...])	Constant kernel.
gaussian_process.kernels.DotProduct([...])	Dot-Product kernel.
gaussian_process.kernels.ExpSineSquared([...])	Exp-Sine-Squared kernel (aka periodic kernel).
gaussian_process.kernels.Exponentiation(...)	The Exponentiation kernel takes one base kernel and a scalar parameter p and combines them via
gaussian_process.kernels.Hyperparameter(...)	A kernel hyperparameter's specification in form of a namedtuple.
gaussian_process.kernels.Kernel()	Base class for all kernels.
gaussian_process.kernels.Matern([...])	Matern kernel.
gaussian_process.kernels.PairwiseKernel([...])	Wrapper for kernels in sklearn.metrics.pairwise.
gaussian_process.kernels.Product(k1, k2)	The Product kernel takes two kernels k1 and k2 and combines them via
gaussian_process.kernels.RBF([length_scale, ...])	Radial basis function kernel (aka squared-exponential kernel).
gaussian_process.kernels.RationalQuadratic([...])	Rational Quadratic kernel.
gaussian_process.kernels.Sum(k1, k2)	The Sum kernel takes two kernels k1 and k2 and combines them via
gaussian_process.kernels.WhiteKernel([...])	White kernel.

除了sklearn中提供的核函数之外，也可以自定义核函数。

2. sklearn中高斯过程回归的使用

a. 初始数据

这里我们利用 sklearn.datasets.make_friedman2 生成初始数据，friedman2 生成输入数据是一个 n_sample x 4维的矩阵，下面是其调用及可视化。

from sklearn.datasets import make_friedman2
import matplotlib.pyplot as plt

X, y = make_friedman2(n_samples=1000, noise=0.1, random_state=10)

plt.figure(dpi=300)
ax1 = plt.subplot(221)
ax1.scatter(X[:, 0], y, label='x1-y', s=0.1)
ax1.legend()

ax1 = plt.subplot(222)
ax1.scatter(X[:, 1], y, label='x2-y', s=0.1)
ax1.legend()

ax1 = plt.subplot(223)
ax1.scatter(X[:, 2], y, label='x3-y', s=0.1)
ax1.legend()

ax1 = plt.subplot(224)
ax1.scatter(X[:, 3], y, label='x4-y', s=0.1)
ax1.legend()

b. 高斯过程回归拟合

from sklearn.datasets import make_friedman2
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor
from sklearn.gaussian_process.kernels import RBF, Sum, WhiteKernel
import matplotlib.pyplot as plt

X, y = make_friedman2(n_samples=1000, noise=0.1, random_state=10)

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.25, random_state=36)

model_kernel = Sum(RBF([100, 1500, 1, 10], length_scale_bounds='fixed'), WhiteKernel(0.1, noise_level_bounds='fixed'))

model_gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=model_kernel)

model_gpr.fit(X_train, y_train)

print(model_gpr.score(X_test, y_test))

y_mean, y_std = model_gpr.predict(X_test, return_std=True)

plot_x = [i for i in range(X_test.shape[0])]
plt.figure(dpi=300)
plt.scatter(plot_x, y_test, color='red', label='test data')
plt.plot(plot_x, y_mean, color='blue', label='y predict')
plt.legend()

这里使用的是RBF和白噪声核函数，根据$x_1,x_2,x_3,x_4$四个特征大小选取了不同大小的长度缩放尺度，拟合得到的模型较好，评分为0.99。

c. 高斯过程回归后验结果分布

from sklearn.datasets import make_friedman2
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor
from sklearn.gaussian_process.kernels import DotProduct, RBF, Sum, Matern, PairwiseKernel
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x_train = np.random.uniform(0, 5, 6).reshape(-1, 1)
y_train = np.sin(np.power(x_train-2.5, 2))

model_kernel = RBF(length_scale=1.0, length_scale_bounds=(1e-1, 10.0))
model_gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=model_kernel)
model_gpr.fit(x_train, y_train)
plot_x = np.linspace(0, 5, 10000).reshape(-1, 1)
y_mean, y_std = model_gpr.predict(plot_x, return_std=True)
plt.figure(dpi=300)
plt.xlim([0, 5.0])
plt.ylim([-2.0, 2.0])
plt.scatter(x_train, y_train, label="train")
plt.plot(plot_x[:, 0], y_mean, '--', label='predict y')
plt.fill_between(plot_x[:, 0], y_mean-y_std, y_mean+y_std, color='black', alpha=0.1, label=r"predict y $\pm$ std")
plt.legend()

如上图为高斯过程回归拟合得到模型的预测值，可以看到结果是概率分布，灰色区域为95%置信区间。

d. 不同核函数拟合结果对比

对于以上c中的数据，这里用了四种不同的核函数来拟合，如下为代码和拟合结果。

from sklearn.datasets import make_friedman2
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor
from sklearn.gaussian_process.kernels import DotProduct, RBF, Matern, PairwiseKernel
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x_train = np.random.uniform(0, 5, 10).reshape(-1, 1)
y_train = np.sin(np.power(x_train-2.5, 2))

model_k1 = DotProduct(sigma_0=1, sigma_0_bounds=(1e-1, 10.0))
model_k2 = RBF(length_scale=1.0, length_scale_bounds=(1e-1, 10.0))
model_k3 = Matern(length_scale=1.0, length_scale_bounds=(1e-1, 10.0), nu=1.5)
model_k4 = PairwiseKernel(gamma=1.0, gamma_bounds=(1e-1, 10), metric='poly')

plt.figure(dpi=300)
plt.xlim([0, 5.0])
plt.ylim([-2.0, 2.0])
plt.scatter(x_train, y_train, label="train")
plot_x = np.linspace(0, 5, 10000).reshape(-1, 1)

for model_kernel in [model_k1, model_k2, model_k3, model_k4]:
    model_gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=model_kernel)
    model_gpr.fit(x_train, y_train)
    y_mean = model_gpr.predict(plot_x)
    plt.plot(plot_x[:, 0], y_mean, '--', color=(np.random.random(), np.random.random(), np.random.random()), label='kernels: {}'.format(model_kernel.__str__()))
plt.legend()

可以看到不同核函数对于高斯过程回归的结果影响较大，实际使用时需要反复测试来选择最好的结果。