1.变分推断简称VI，是一种确定性近似推断方法

2.基于平均场理论的VI是假设q(z)可以分解为M个独立qi

3.采取坐标上升法可以求解VI问题

4.VI有两个局限：假设太强，同时积分也不一定能算

5.为了解决积分不能算问题，考虑采取随机梯度法进行求解，这就有SGVI

6.变分L(Φ)关于q(z)的梯度通过期望相联系，这个期望通过蒙特卡洛采样来近似

7.由于期望有个log符号，采样需要很多样本，且方差很大

8.通过重参数化技巧解决方差大的问题，主要思想是把z的随机成分去掉，转移到一个确定性分布p(ε)

变分推断，英文Variational Inference，简称VI，是一种近似推断的方法，属于确定性近似。它跟EM算法都是求解隐变量后验分布的算法，在EM算法中，隐变量z和未知参数θ是分开的，在变分推断里面，它们合并在一起，依然用z代替。

因此，其推导过程与EM算法差不多，建议读者先熟悉小编在文章EM算法的推导过程。

公式推导

展开对数似然函数：

两边同时乘以q(z)，

做积分与恒等转换：

红色部分就是我们在EM算法提到的ELBO，这里我们称为变分，记做L(q)；蓝色部分为KL散度，恒大于等于0.

在EM算法中我们介绍过，E步本质是求隐变量后验分布p(z|x)，如果没办法得到该后验，一种思想是使得q(z)去逼近p(z|x)：

这样就能让KL散度为0，那么求解变分的最大值，就是似然对数的最大值。因此，优化问题变为：

下面我们就求解q(z).

第一步我们利用了统计物理学的平均场理论的思想，假设q(z)可以分解为M个独立的qi：

求解的想法是先固定其他M-1个分量，只求解其中一个qj，重复M次，就得到所有的q(z).

展开L(q):

代入qi，对于红色部分：

对于蓝色部分：

注：倒数第二个等号化简过程如下

合并起来，得到：

这样，变分推断问题转化为一个最优问题：

最大L(q)的解是满足：

这个解是基于平均场理论假设的结果.

公式求解

我们基于上一节的结果求解其参数，展开最优解公式：

利用坐标上升迭代法可以求解各个参数：

每轮更新上面1-m个参数，直至L(q)收敛。

这个基于平均场假设的模型有很大的局限性，主要体现在:

• 假设太强，Z非常复杂的情况下，假设不适用

• 期望中的积分，可能无法计算

SGVI

从Z到 X的过程叫做生成过程或译码，反过来叫推断过程或编码过程，基于平均场的变分推断可以导出坐标上升的算法，但是这个假设在一些情况下假设太强，同时积分也不一定能算。

优化方法除了坐标上升，还有梯度上升的方式，我们希望通过梯度上升来得到变分推断的另一种算法。这里采取随机梯度法，结合变分推断，导出来的算法叫随机梯度变分推断，英文是Stochastic Gradient Variational Inference，简写SGVI.

为了方便推导，我们假定q(z)是有关Φ参数的概率分布：

那么，变分L(q)改写成：

最优化问题是：

我们直接对它求梯度：

蓝色部分等于0是因为：

继续化简L(Φ)梯度：

这样，变分关于q(z)的梯度通过期望相联系。这个期望可以通过蒙特卡洛采样来近似，从⽽得到梯度，然后利⽤梯度上升的⽅法来得到参数

但是由于求和符号中存在⼀个对数项，于是直接采样的方差很大(high variance)，需要采样的样本⾮常多。

为了解决⽅差太⼤的问题，我们采⽤重参数化技巧( Reparameterization Trick) .

考虑z~Φ之间的随机关系，我们把z的随机成分去掉，转移到一个确定性分布p(ε)：

于是有：

代入变分L(Φ)公式：

最后，通过蒙特卡洛采样近似：

得到梯度更新值：