前言

在ARIMA模型中，我们一般假设干扰项的方差为常数，然而在很多情况下，时序波动的干扰项方差并不为常数。因此我们有必要刻画方差（波动率）这一特征来研究时序模型，本篇的（G）ARCH模型就是刻画随时间变化的方差模型。

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一：ARCH模型的相关性质

• 底层由来

我们还是从$AR(p)$模型入手：

$x_t={\varphi }_0+{\varphi }_1{x}_{t-1}+{\varphi }_2{x}_{t-2}+...+{\varphi }_p{x}_{t-p}+{\epsilon }_t$，

我们定义$ARCH(q)$模型为：残差

${\epsilon }_t={\sigma }_t{\mu }_t,{\sigma }_t^2=a_0+a_1{\epsilon }_{t-1}^2+...+a_q{\epsilon }_{t-q}^2$ 这 { μ t } \{\mu_t\} {μt​}

均值为0，方差为1的独立同分布随机变量序列， $a_i\ge 0$。假设 $E({\epsilon }_t^2)<\infty$有界，则在信息流 $F^{t-1}$ 的作用下，有 ${\epsilon }_t$ 的条件方差：

$E({\epsilon }_t|F^{t-1})={\sigma }_{t}E({\mu }_t|F^{t-1})={\sigma }_{t}E({\mu }_t)=0$ ，

由条件方差公式：

$D({\epsilon }_t|F^{t-1})=E({\epsilon }_t^2|F^{t-1})-{\left(E({\epsilon }_t|F^{t-1})\right)}^2$

得其条件方差为：

$D({\epsilon }_t|F^{t-1})=E({\epsilon }_t^2|F^{t-1})={\sigma }_t^{2}E({\mu }_t^2|F^{t-1})={\sigma }_t^{2}E({\mu }_t^2)={\sigma }_t^2=a_0+a_1{\epsilon }_{t-1}^2+...+a_q{\epsilon }_{t-q}^2(1)$

从公式(1)容易看出，满足$ARCH(q)$模型的序列的波动与其过去 $q$ 期的波动有关，而且会随着时间的改变而改变。

• 期望、方差与协方差

对于白噪声 { ε t } \{\varepsilon_t\} {εt​} 序列，在假定期条件与方差不变的情况下，根据条件期望的期望就是它本身的性质，我们有

$E({\epsilon }_t)=E\left[E({\epsilon }_t|F^{t-1})\right]=0$ ，

$Var({\epsilon }_t)=E\left[E({\epsilon }_t^2|F^{t-1})\right]=E({\sigma }_t^2)=$

$a_0+a_{1}E({\epsilon }_{t-1}^2)+...+a_{q}E({\epsilon }_{t-q}^2)=\frac{a_0}{1-a_1-...-a_q}$,

$Cov({\epsilon }_t,{\epsilon }_{t-j})=E\left(({\epsilon }_t-E({\epsilon }_t))({\epsilon }_{t-j}-E({\epsilon }_{t-j}))\right)$

$=E({\epsilon }_t{\epsilon }_{t-j})=0$。

• 参数估计过程

1. 估计一个$ARCH$模型，首先要确定好$AR(p)$模型的阶数，可以根据定阶模型。但对于波动率阶数 $q$的确定，我们要先检验序列 { ε t } \{\varepsilon_t\} {εt​} 存在显著的$ARCH$效应，再根据偏自相关函数$(Pacf)$来确定$q$ ，
2. 定好阶后，为了估计模型参数，当 { μ t } \{\mu_t\} {μt​} 服从正态分布时，我们可以用最小二乘最大似然估计对模型参数进行估计。

• 建模过程（由于此模型前期工作跟ARMA模型的建立很相似，所以有些步骤将简述）

1. 首先还是对序列进行平稳性和白噪声检验，
2. 检验ARCH效应。
   a：我们对建立的AR§模型进行残差平方分析，对残差平方进行白噪声检验，如果过了白噪声检验，那就进行ARCH(q)偏自相关函数定阶，否则不存在ARCH效应；
   b：还有一种是基于LM公式检验，$LM$公式为：
   ${\epsilon }_t^2=a_0+{\sum }_{i=1}^q{a}_i{\epsilon }_{t-i}^2$，检验的原假设为：序列 { ε t 2 } \{\varepsilon_t^2\} {εt2​} 无$ARCH$效应，即 $a_i=0,i=1,2,..,q$，备择假设为：序列 { ε t 2 } \{\varepsilon_t^2\} {εt2​} 存在$ARCH$效应，即至少存在一个 $a_i$ 显著不为0，
3. 建立好$ARCH(q)$模型后，我们将预测数据并进行模型检验。

二：ARCH实验过程

建模过程中，将沿用上一篇文章的数据，根据上一篇文章数据内容，我们得出的$Pacf$如下，选择$AR(10)$模型。

图1

根据残差公式，我们做出残差图和残差平方图如下。

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf,plot_pacf
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller as ADF
from statsmodels.tsa.arima_model import ARIMA,ARMA
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
import numpy as np
import arch

yv = np.array([2800,2811,2832,2850,2880,2910,2960,3023,3039,3056,3138,3150,3198,3100,3029,2950,2989,3012,3050,3142,3252,3342,3365,3385,3340,3410,3443,3428,3554,3615,3646,3614,3574,3635,3738,3764,3788,3820,3840,3875,3900,3942,4000,4021,4055])
yv_serie = pd.Series(yv[:-10])

def testwhitenoise(data):
    m = 10# 检验10个自相关系数
    acf,q,p = sm.tsa.acf(data,nlags=m,qstat=True)
    out = np.c_[range(1,m+1),acf[1:],q,p]
    output = pd.DataFrame(out,columns=['lag','自相关系数','统计量Q值','p_values'])
    output = output.set_index('lag')# 设置第一列索引名称,可省略重复索引列1
    print(output)

def teststeady(data,count=0):
    res_ADF = ADF(data)
    print('ADF检验结果为：', res_ADF)
    Pv = res_ADF[1]
    if Pv > 0.05:
        print('\033[1;31mP值：%s，原始序列不平稳，要进行差分！\033[0m' % round(Pv,5))
        count = count + 1
        print('\033[1;32m进行了%s阶差分后的结果如下\033[0m' % count)
        data = data.diff(1).dropna()
        teststeady(data,count)
    else:
        print('\033[1;34mP值：%s，原始序列平稳，继续建模\033[0m'% round(Pv,5))
    return data
tsres = teststeady(yv_serie)

def confirm_p(data):
    fig = plt.figure(figsize=(10,6))
    train = teststeady(data)
    ax1 = fig.add_subplot(111)
    fig = plot_pacf(train, lags=10, ax=ax1)
    plt.show()  ###可视化定阶

def testARCH(data):
    order = (10,0)
    tempmodel = ARMA(data, order).fit(disp=-1)
    at = data - tempmodel.fittedvalues
    at2 = np.power(at,2)##残差平方和
    fig = plt.figure(figsize=(8,6))
    plt.subplot(211)
    plt.plot(at,label='at')
    plt.legend()
    plt.subplot(212)
    plt.plot(at2,label='at^2')
    plt.legend()
    plt.show()
    testwhitenoise(at2)
    confirm_p(at2)
testARCH(tsres)

图2：残差即残差平方图

再对残差平方图进行白噪声检验如下，

图3

从图3中，我们发现残差平方图是白噪声序列，不满足$ARCH$效应，但是为了展示$ARCH$模型的建模过程，我们还是继续建模，最后跟$ARMA$模型做对比，接下来对$ARCH(q)$进行定阶。

图4

从图4的$Pacf$图我们发现，确实也没有合适的阶数，如果强行建立$ARCH$模型，我们设阶数 $q=3$ 试一试，那么实际模型为$AR(10)+ARCH(3)$！

def make_ARCHmodel(data,pst,lag):
    tempmodel = arch.arch_model(data,mean='AR',lags=lag,vol='ARCH',p=3,dist='gaussian').fit(update_freq=0,disp='off')
    ##预测值的均值；如果AR模型是10阶，起步位置必须是第9（从0起算）位置以上开始；horizon：从第start+1数据开始，预测未来horizon期数据
    pre = tempmodel.forecast(horizon=pst,start=lag-1,method='simulation').mean.iloc[lag-1]
    print(pre)

    init_value = yv[lag]
    fig = plt.figure(figsize=(8, 6))
    predicthorizon = pre.cumsum()  ##差分还原
    predicthorizon = init_value + predicthorizon
    prelsall = yv[:lag + 1] + list(predicthorizon)##差分少一个数据并补充

    # 作图
    plt.plot(prelsall, label='样本预测值')
    plt.plot(yv, label='原始值')
    plt.legend()
    plt.show()
l = 10
presteps = len(yv) - l - 1
preres = make_ARCHmodel(tsres,presteps,l)

图5

从上图5我们发现，当数据确实不符合$ARCH$效应时，如果强行建模，那确实适得其反，跟$ARMA$模型的效果相比差的很远，从图也能发现，预测结果相当不可靠，所以我们理解好建模思路和用对模型都非常重要，不能因为模型复杂而不适合来进行强行建模。

下图是上一篇文章均值模型ARIMA的建模结果，为了方便比较，这里列出！

点击进入上一篇文章内容！

ARIMA建模结果！

三：GARCH模型的轮廓介绍

• 原理简介

我们知道$ARCH$模型的波动率 ${\sigma }_t^2$ 仅与白噪声序列 ${\epsilon }_t^2$ 的滞后项有关，$GARCH$则认为时间序列每个时间点变量的波动率是最近 $p$ 个时间点残差平方的线性组合，再与最近 $q$ 个时间点变量波动的线性组合的加起来得到的，即：

${\epsilon }_t={\sigma }_t{\mu }_t,{\sigma }_t^2=a_0+{\sum }_{i=1}^p{a}_i{\epsilon }_{t-i}^2+{\sum }_{j=1}^q{b}_j{\sigma }_{t-j}^2(\ast )$

其中 { μ t } \{\mu_t\} {μt​} 是均值为0，方差为1的独立同分布随机变量序列。这里我们对每个变量进行些说明，

$a_0>0,a_i,b_j\ge 0，{\sum }_{i=1}^p{a}_i+{\sum }_{j=1}^q{b}_j<1$,

且假定 $a_i,b_j$ 满足一定条件使得 ${\epsilon }_t$ 的条件方差随时间变化是有限的。（特别说明这里的 p 跟AR模型里面的 p不是一个值， ${\epsilon }_t$ 为残差，即真实值与预测值之差）

• 模型说明

$GARCH$模型跟$ARCH$模型非常类似，都是对于波动率进行新的建模分析，所以在模型搭建前，也是有必要进行数据平稳性、白噪声和$ARCH$效应检验的。但在$(\ast )$中，我们发现此波动率会涉及 $p,q$ 值，还有$AR$模型的 $p$ 值（虽然是两个 $p$ ，但含义不同），所以$GARCH$的定阶跟$ARMA$有点类似。但$GARCH$的定阶一般是比较困难的，所以一般都是选择低阶模型如$GARCH(1,1)$，$GARCH(1,2)，GARCH(2,1)$。

四：GARCH实验过程

我们还是基于相同的数据集，由于此数据集已经验证不符合$ARCH$效应，那我们强行建立$GARCH$模型看看预测效果。

def make_GARCHmodel(data,pst,lag):
    tempmodel = arch.arch_model(data, mean='AR', lags=lag, vol='GARCH', p=2, dist='gaussian').fit(update_freq=0,
                                                                                                 disp='off')
    print(tempmodel.summary())

    pre = tempmodel.forecast(horizon=pst, start=lag - 1, method='simulation').mean.iloc[lag - 1]
    print(pre)

    init_value = yv[lag]
    fig = plt.figure(figsize=(8, 6))
    predicthorizon = pre.cumsum()  ##差分还原
    predicthorizon = init_value + predicthorizon
    prelsall = yv[:lag + 1] + list(predicthorizon)  ##差分少一个数据并补充

    # 作图
    plt.plot(prelsall, label='样本预测值')
    plt.plot(yv, label='原始值')
    plt.legend()
    plt.show()

l = 10
presteps = len(yv) - l - 1
preres = make_GARCHmodel(tsres,presteps,l)

注：$GARCH$更大的作用是对波动率的预测，比如从上面的波动率模型和均值模型我们知道，当计算出来 ${\epsilon }_t,{\epsilon }_{t-1}...$ （真实值和预测值做差）， ${\sigma }_t$ 等等后，那么 ${\sigma }_{t+1}$ 就迎刃而解！

图6

从上图6我们发现，$GARCH$模型效果还是不如均值模型$ARMA$效果好，所以在本身数据不符合$ARCH$效应下，我们还是选择$ARMA$模型进行建模。这正好能体现不同数据用不同方法建模的道理！

五：总结

• $GARCH$和$ARCH$准确的来说属于波动率模型，比如图6计算过程，
• 当只有存在$ARCH$效应时，我们可以建立波动率模型，否则可以多使用均值模型$（ARIMA）$。