本篇是“广义线性模型”系列推文的最后一篇，来介绍另外一种重要的广义线性模型：负二项回归。

同泊松回归一样，负二项回归也是计数模型。由于泊松回归的内在要求是因变量的数学期望和方差相等，而当数据序列出现“过度离散”（方差比理论值大）时，可有两种方式进行模型修正：

• 使用准泊松分布族；

• 改用负二项回归。

前者已经介绍过了，本篇来介绍后者——负二项回归。

模型形式

负二项回归的模型形式与泊松回归十分相似。

泊松回归：

负二项回归：

泊松分布与负二项分布有着内在的联系。当泊松分布的参数 不再是一个确定的数值，而是服从伽马分布进行变化时，此时的分布形式称为伽马-泊松混合分布，负二项分布是伽马-泊松混合分布的特例。

《Modern Applied Statistics with S-PLUS》^[1]上有关于负二项分布与泊松分布关系的描述：

负二项分布的方差恒大于数学期望，并受参数 的影响。从模型形式上看，负二项回归比泊松回归多了一个随机项 ：

• 为伽马分布的记号。

负二项分布

泊松分布的概率函数如下：

伽马分布 的概率密度函数如下：

为形状参数， 为逆尺度参数。数学期望 ，方差 。

伽马-泊松混合分布的概率密度函数如下：

负二项分布的概率函数如下：

对比伽马-泊松混合分布和负二项分布的概率（密度）函数，令 ， ，则二者相等。

负二项分布的意义：随机事件刚好第 次发生（不发生）时所经历的不发生（发生）的次数。

模型的R代码

负二项回归虽然属于广义线性模型，但在stats工具包中并没有定义负二项分布族函数。

MASS工具包的glm.nb函数可以进行负二项回归，并自动确定 参数的取值。

glm.nb(formula, data, weights,
       subset, na.action,
       start = NULL, etastart, mustart,
       control = glm.control(...),
       method = "glm.fit",
       model = TRUE, x = FALSE, y = TRUE,
       contrasts = NULL, ...,
       init.theta, link = log)

• MASS工具包的名称即上面提到的《Modern Applied Statistics with S-PLUS》的首字母缩写；

• glm.nb函数专门用于负二项回归，因此无需family参数。

library(MASS)
model.nb <- glm.nb(Days ~ Eth + Sex + Age+ Lrn,
                   data = quine)

summary(model.nb)
## 
## Call:
## glm.nb(formula = Days ~ Eth + Sex + Age + Lrn, data = quine, 
##     init.theta = 1.274892646, link = log)
## 
## Deviance Residuals: 
##     Min       1Q   Median       3Q      Max  
## -2.7918  -0.8892  -0.2778   0.3797   2.1949  
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)  2.89458    0.22842  12.672  < 2e-16 ***
## EthN        -0.56937    0.15333  -3.713 0.000205 ***
## SexM         0.08232    0.15992   0.515 0.606710    
## AgeF1       -0.44843    0.23975  -1.870 0.061425 .  
## AgeF2        0.08808    0.23619   0.373 0.709211    
## AgeF3        0.35690    0.24832   1.437 0.150651    
## LrnSL        0.29211    0.18647   1.566 0.117236    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for Negative Binomial(1.2749) family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 195.29  on 145  degrees of freedom
## Residual deviance: 167.95  on 139  degrees of freedom
## AIC: 1109.2
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 1
## 
## 
##               Theta:  1.275 
##           Std. Err.:  0.161 
## 
##  2 x log-likelihood:  -1093.151

MASS工具包还定义可以在glm函数中使用的负二项分布族函数negative.binomial：

negative.binomial(theta = stop("'theta' must be specified"),
                  link = "log")

使用negative.binomial函数时需指定 参数。根据《Modern Applied Statistics with S-PLUS》中的方法，可以使用MASS工具包中的logtrans函数大致确定 的取值：

logtrans(Days ~ Eth + Sex + Age+ Lrn,
         data = quine)

根据上图， 的最佳取值约等于2。

model.nb2 <- glm(Days ~ Eth + Sex + Age+ Lrn,
                 family = negative.binomial(2),
                  data = quine)

summary(model.nb2)
## 
## Call:
## glm(formula = Days ~ Eth + Sex + Age + Lrn, family = negative.binomial(2), 
##     data = quine)
## 
## Deviance Residuals: 
##     Min       1Q   Median       3Q      Max  
## -3.2421  -1.0864  -0.3369   0.4767   2.7006  
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  2.88658    0.22715  12.708  < 2e-16 ***
## EthN        -0.56765    0.15245  -3.724 0.000285 ***
## SexM         0.08699    0.15903   0.547 0.585268    
## AgeF1       -0.44501    0.23909  -1.861 0.064820 .  
## AgeF2        0.09283    0.23451   0.396 0.692819    
## AgeF3        0.35938    0.24659   1.457 0.147260    
## LrnSL        0.29671    0.18594   1.596 0.112812    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for Negative Binomial(2) family taken to be 1.483669)
## 
##     Null deviance: 280.18  on 145  degrees of freedom
## Residual deviance: 239.11  on 139  degrees of freedom
## AIC: 1120.5
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 7

相关阅读：

1. stats | 概率分布与随机数生成（一）——离散型分布

2. stats | 广义线性模型（二）——泊松回归

参考资料

[1]

Venables, W. N. and Ripley, B. D. (1999) Modern Applied Statistics with S-PLUS. Third Edition. Springer .