素数(质数)是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数

判断素数

第一种:就是暴力解法普通查找:遍历2-n的值找出是否存在因数

def IsPrime1(num):
    if num == 2 or num == 3:
        return 1
    else:
        for i in range(2, num):
            if num % i == 0:
                return 0
        else:
                return 1

第二种:在第一种的基础上缩短遍历的值的数量

如果一个自然数是非素数,那么它的所有因数(除1和本身)中,必存在某个因数小于等于其开方值

那么我们的任务就是遍历2-sqrt(n),如果存在因数,那么是非素数,如果不存在因数,即该数位素数。

import math

def IsPrime2(num):
    if num == 2 or num == 3:
        return 1
    else:
        n = int(math.sqrt(num))
        for i in range(2, n + 1):# range(start,stop[,step])中的stop值不在遍历范围内
            if num % i == 0:
                return 0
        else:
                return 1

第三种:在第二种的基础上继续减少遍历值

首先看一个关于质数分布的规律:大于等于5的质数一定和6的倍数相邻。例如5和7,11和13,17和19等等;

简单证明一下:大于5的自然数:....6x-1,6x,6x+1,6x+2,6x+3,6x+4,6x+5,6x+6,6x+7...

不在6x(即6的倍数)相邻两侧的数为6x+2,6x+3,6x+4,可以被2,3整除,显然不是素数,可以将这一大部分值排除掉。

注意:在6x相邻两侧的值不一定是素数。例如35...

接下来的任务就是判断6x相邻两侧的数:此时判断质数可以6个为单元快进,即将方法(2)循环中step设为6,加快判断速度。

原因是:假如要判定的数为n,则n必定是6x-1或6x+1的形式,对于循环中6i-1,6i,6i+1,6i+2,6i+3,6i+4,其中如果n能被 6i,6i+2,6i+4整除,则n至少得是一个偶数,但是6x-1或6x+1的形式明显是一个奇数,故不成立;

另外,如果n能被6i+3整除,则n至少能被3整除,但是6x能被3整除,故6x-1或6x+1(即n)不可能被3整除,故不成立。

综上,循环中只需要考虑6i-1和6i+1的情况,即循环的步长可以定为6,每次判断循环变量k和k+2的情况即可。

import math

def IsPrime3(num):
    if num == 2 or num == 3:
        return 1
    if num % 6 != 1 and num % 6 != 5:
        return 0
    n = int(math.sqrt(num))
    for i in range(5, n + 1, 6):
        if num % i == 0 or num % (i + 2) == 0:
            return 0
    else:
        return 1


以上三种是比较经典的三种判断素数方法

查找素数:

第一种:查找一定范围内的所有素数,直接遍历,找出符合条件的数并打印(或者存进一个数组里面)

def PrintAllPrime(n):
    for s in range(2,n+1):
        if IsPrime1(s) == 1:
            print(s)

第二种:我们一起学习一种高级的思想:生成器构造筛选

原理上比较简单:构造一个大概的序列,从序列中遍历筛选不符合的,剩下的即为素数

实现上:构造一个可以包括所有素数的序列,然后定义一个筛选函数对其进行元素移除;定义一个生成器,不断的生成下一个素数,这样就可以根据自己的需要生成一定范围内的素数

def odd_iter():
    n = 1
    while True:
        n = n + 2
        yield n  # 返回一个Iterator


def not_divisible(n):
    return lambda x: x % n > 0


def primes():
    yield 2
    it = odd_iter()  # 初始序列
    while True:
        n = next(it)  # 返回序列的第一个数
        yield n
        it = filter(not_divisible(n), it)  # 构造新序列




# 打印10以内的素数:
m=10
for n in primes():
    if n <= m:
        print(n)
    else:
        break


 

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