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蒙特卡罗模拟法的定义

基本思想：蒙特卡罗模拟法(Monte Carlo Simulation, MCS)是在一定的统计分布假设下模拟风险因子的变化情况。首先假设资产收益为某一随机过程，并根据所设定的价格变动过程，大量模拟未来各种可能发生的情境，然后将某一情境下投资组合变化值排序，给出投资组合变化的分布，据此就可以估算不同置信水平下的VaR值。

基本步骤：

每一次蒙特卡洛模拟，对资产组合中的每一资产按照随机过程公式模拟出下一个交易日的价格，公式中的ε可以假定服从t分布或正态分布（即资产收益率服从的分布），然后可以得到每一资产的收益率，乘以各自的权重和市值就能得到每一资产在下一个交易日的收益，全部相加就是该资产组合在下一个交易日的模拟收益。

假设股票价格符合几何布朗运动，即
$$d{S}_t={\mu }_t{S}_{t}dt+{\sigma }_t{S}_{t}d{W}_t$$
简化处理，得到特定时期(0,T)资产价格变化过程：
$$\Delta S_t=S_t(\mu \Delta t+\sigma {\epsilon }_t\sqrt{\Delta t}),t=1,2,...,N,N\Delta t=T$$
于是得到：
$$S_{t+1}=S_t+S_t(\mu \Delta t+\sigma {\epsilon }_t\sqrt{\Delta t}),t=1,2,...,N,N\Delta t=T$$
也可表示为：
$$S_{t+1}=S_t{e}^{(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})\Delta t+\sigma {\epsilon }_t\sqrt{\Delta t}}$$
其中$\mu$为收益率均值，${\sigma }^2$为收益率方差，$\epsilon$服从t分布或正态分布。

则收益率为：
$$return=(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})dt+\sigma {\epsilon }_t\sqrt{dt}$$

蒙特卡罗模拟法的的Python实现

蒙特卡洛模拟法模拟股票收益率序列

收益率为：
$$return=(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})dt+\sigma {\epsilon }_t\sqrt{dt}$$

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
import math
'''
s：股票现价
t：期限（年）
r：股票年化收益率
sigma：股票年化波动率
nper_per_year：每年的期数
'''
def generate_simulated_stock_returns(t,r,sigma,nper_per_year):      
    simulated_returns=[]
    dt=1/nper_per_year
    term = int(t*nper_per_year)
    for i in range (1, term+1):
        z=np.random.normal()
        simulated_return = (r-(sigma**2/2))*dt + z*sigma*(dt**(1/2))
        simulated_returns.append(simulated_return)
    array_return=np.array(simulated_returns)
    return array_return

# 初始股价s：100; 预期收益率r：10%;标准差：30%
s=100;r=0.1;sigma=0.3
#1年期、每年2期
t=1;nper_per_year=2
array_return = generate_simulated_stock_returns(t,r,sigma,nper_per_year)
print(array_return)
#2年期、每年24期
t=2;nper_per_year=24
array_return = generate_simulated_stock_returns(t,r,sigma,nper_per_year)
print(array_return)

[ 0.21738696 -0.06383675]
[ 0.02899686  0.00131385 -0.09489962 -0.00440415 -0.0357566  -0.05227566
  0.07905745 -0.03065636 -0.01726008 -0.0059791   0.05072394  0.01448947
  0.03098366 -0.05170335  0.0161574  -0.18380967 -0.0629412   0.00289641
  0.14890079 -0.05693315  0.0931597   0.0037413  -0.05493882  0.12309281
  0.06119329  0.04241972 -0.02030099 -0.05180438 -0.05970102  0.0229074
  0.12618542  0.0770313   0.05075201 -0.04261307  0.00168359  0.03529421
  0.0850315  -0.09281302 -0.08985412  0.02220526  0.01642511  0.04967819
  0.07372143 -0.01799848  0.05595597 -0.00384655 -0.09679426 -0.08459783]

蒙特卡洛模拟法模拟股价序列

股价为：
$$S_i=S_{i-1}\times e^{r_{i-1}}$$

def generate_simulated_stock_values(s,t,r,sigma,nper_per_year):
    rate=generate_simulated_stock_returns(t,r,sigma,nper_per_year)
    stock_price = [s]
    term = int(t*nper_per_year)
    for i in range(1, term+1):
        values = stock_price[i-1]*math.e**(rate[i-1])
        stock_price.append(values)
    array_price = np.array(stock_price)
    return array_price

#1年期、每年2期
t=1;nper_per_year=2
array_price = generate_simulated_stock_values(s,t,r,sigma,nper_per_year)
print(array_price)
#2年期、每年24期
t=2;nper_per_year=24
array_price = generate_simulated_stock_values(s,t,r,sigma,nper_per_year)
print(array_price)

[100.         105.03146796 100.4594981 ]
[100.          95.90978914  95.65450188 104.70632493 102.12337933
 104.26726892  99.06536039 100.63054422  93.6685905   88.57596138
  92.41510048  89.91265499  86.27490259  87.29911775  84.26798089
  86.5798334   87.06325173  87.61229376  81.72201584  85.49976969
  82.96816113  80.11385795  83.01588423  77.73720797  72.770712
  63.60523084  65.39745198  69.02682262  67.64864604  62.52653157
  61.57041633  58.01208479  62.16882528  66.41108904  66.4236716
  59.67428405  68.38557448  70.2657609   75.26920257  77.15860959
  80.52151818  74.45625968  71.23642008  70.7874225   69.68587971
  75.54529952  67.20571691  67.86359575  67.393064  ]

蒙特卡洛模拟法绘制模拟股价序列图

def plot_simulated_stock_values(s,t,r,sigma,nper_per_year,num_trials=1):
    term = int(t*nper_per_year) + 1
    x_axis = np.linspace(0,t,term)
    for i in range(num_trials):
        price=generate_simulated_stock_values(s,t,r,sigma,nper_per_year)
        plt.plot(x_axis, price)
    plt.title(str(num_trials)+" simulated trials")
    plt.xlabel("years")
    plt.ylabel("value")
    plt.show()

# 2年期、每年250期,模拟5次
t=2;nper_per_year=250;num_trials=5
plot_simulated_stock_values(s,t,r,sigma,nper_per_year,num_trials)

​

​

# 2年期、每年250期,模拟1000次
t=2;nper_per_year=250;num_trials=1000
plot_simulated_stock_values(s,t,r,sigma,nper_per_year,num_trials)

​

​