alpha-beta剪枝算法原理

背景

  由于笔者最近要写人工智能课的大作业,所以这两天在学习博弈论相关的知识,但网上对alpha-beta剪枝的原理讲的都不是很清晰,很多细节都忽略了,让初学者会有一种脑子说会了,但手并不会的感觉,导致一写起代码就懵,所以笔者决定整理一下知识点,让初学者更容易接受。本文适合想深入理解算法原理的读者,如果您只是需要在工程中使用,请直接到文章最后ctrl cv代码即可。

  不管是alpha-beta剪枝算法还是它的前身Max-Min算法,都是用于在不同阵营进行博弈的问题中计算理论最优解。注意这里的两个关键词:不同阵营、理论最优解。

  我们平时玩的五子棋、象棋等游戏中,玩家被分为两个阵营,且在棋盘上所有棋子位置一定时,两方进行的操作不同,因为双方需要考虑己方棋子移动的最优解并且只能移动己方棋子,这种游戏可以使用上述两种算法。但还有一种游戏,它是没有严格划分阵营的,也就是说如果当前游戏的局面一定,对于两个玩家来说,他们选择的理论最优解应该是相同的,比如两个人从n个石子中取走石子,每次至多可以取m(0 < m < n)个石子,取完石子的人胜利,这类游戏我们乘为Nim游戏,本文中不过多介绍,有兴趣了解的请查找Nim游戏SG函数相关资料。

  我们再来看第二个关键词:理论最优解,我们在算法中所做的所有推演,都是基于对手也会选择对它理论上的最优解,但在实际的人机对战中,人类很难做到这一点,况且在机机对战中,如果各自的评价函数(即量化当前操作的优劣)不同,各自的理论最优解也不同。

Max-Min算法

  在讲alpha-beta剪枝之前,不得不提的就是它的前身Max-Min算法,可以说Max-Min算法是灵魂,alpha-beta剪枝不过是加了一点trick节约搜索资源。

图源:Bug_Programmer

  这是一个经典的博弈树,它记录了博弈中所有可能的情况。注意到,博弈进行到叶结点即结束,这里需要说明,搜索结束不代表游戏结束。比如在五子棋中,如果我们想一直搜索直到游戏结束,复杂度是指数级增长的,计算机没有那么多计算资源也没必要使用那么多计算资源,我们可以设置一个最大搜索深度,当博弈树搜索到最大深度时开始计算当前最优解,换句话来说,我们在搜索范围过大时,只考虑局部最优解而不去考虑全局最优解。

  Max-MIn算法将决策树中不同深度的层分为Max层和Min层,Max层选择自己的最优解,Min层选择对方的最优解。决策树的根结点是自己当前所选择的操作,显然它是一个Max层,往后以此类推,方形代表Max层,圆形代表Min层

  在确定完Max和Min层后,我们就要开始计算每个结点能取到的最优解了。这个最优解是经过评价函数量化的,不同游戏的评价函数定义不同,你可以根据自己的需求个性化选择评价函数,但不管是什么定义方式,它本质上就是一个量化当前局面对自己来说优劣的函数。

  该算法的核心在于逆推,即从当前操作所导致的结果推出当前操作的最优解。 当搜索到叶结点时,我们计算所有叶节点的评价值,然后计算父结点的评价值,计算方式为:Max层的结点取它的子结点中的最大值,Min层的结点取它的子结点中的最小值。 用图中最左面的分支来举例,当进行到Min层时,此时他有两个选择,评价值分别为3和17,那么作为你的对手,他一定会让你的评价值最小,因此他会选择评价值为3的操作,同理可知Max层选择评价值最大的操作。

  由此我们就可以计算根结点的操作,即选择当前能达到的最大评价值所对应的操作。

alpha-beta剪枝

  我们终于开始讲这个神秘的alpha-beta剪枝算法了,如果你理解了Max-Min算法,那么理解这个应该也很轻松。

  我们很容易发现,Max-Min算法有它明显的缺陷——计算量大,即使我们做了搜索深度限制,计算量仍十分庞大,算法工程师们总是不满足暴力搜索的,因此就有了alpha-beta剪枝算法。

  现在请思考一个问题,如果你已经有了一个评价值为10的操作,那么再遍历其他结点时,你发现它最大能达到的评价值是5,那么你还会继续遍历这个结点的其他子结点吗?显然不会,因为你已经有了一个更优的选择了,除非有一个比10更大的评价值,否则你不会再搜索下去。同理,如果你的对手已经有了一个评价值为5的操作,那么它还会让你选择评价值更大的操作吗?也不会,因为它是你的对手,理论上它总想让你玩的最不舒服。

  理解了这个,你就理解了alpha-beta剪枝的精髓——剪掉那些一定不会选择的分支。

  下面我们来详细介绍一下这个“聪明”的算法。

在这里插入图片描述图源:急流

  上图是我们用DFS搜索第一条路径的结果,两个叶结点分别是3和17,当我们搜索到第一个叶结点3时,此时17的结点还未被搜索到,那么由于它的父结点在Min层,所以它的父结点一定会选择一个评价值小于等于3的值, 请仔细思考这句话,很重要!换句话说,目前来看,父结点的上界是3,由此引出该算法的第一个参数——β,它是一个结点所能选取的评价值的上界。现在我们假设两个叶结点在Min层,它们的父结点在Max层,此时由于我们搜索的顺序仍是从左向右,父结点一定会选择一个评价值大于等于3的值, 也就是说父结点评价值的下界是3,由此引出该算法的第二个参数——α,它是一个结点所能选取的评价值的下界。

        
知道了α和β的定义,我们来介绍一下alpha-beta剪枝中最重要的性质:
1. Max层的α = max(α, 它的所有子结点的评价值),Max层的β = 它的父结点的β
2. Min层的β = min(β, 它的所有子结点的评价值),Min层的 α = 它的父结点的α
3. 当某个结点的 α >= β,停止搜索该节点的其他子结点
4. 叶结点没有 α 和 β

    
我们一一说明这四条性质:
首先我们假设所有非叶结点的α初始化为负无穷,β初始化为正无穷。

  1. 若Max层中发现有一个子结点的评价值比当前所能达到的评价值更大,换句话说就是子结点的操作更优,那么将当前所能达到的评价值换成该子节点的评价值。并且由于它的父结点是从该Max层中选择最小的评价值,那么他就要判断一下当前的α是否大于它父结点的β。为了方便起见,我们将父结点的β赋给它自己的β,这样我们只需要比较它自己的α和β就可以了。
  2. 跟第一条类似,如果发现子结点中有比当前更优的操作(对对手更优,即对自己更差),那么就替换β,同时比较父结点最优解与当前解的大小,如果父结点已经有一个更优解,则不必继续搜索了。
  3. Max层中,若某个结点的最优解已经大于它的父结点的最差解,则不必继续搜索,剪枝;Min层中,若某个结点的最差解已经小于它的父结点的最优解,则不必继续搜索,剪枝。
  4. 由于叶结点没有子结点,自然不需要计算 α 和 β。

在这里插入图片描述图源:急流
(原谅我懒得画图)

代码

棋类游戏博弈

        def AlphaBeta(self, player, alpha, beta):
        # 当前可以下的位置
        movable_positons = self.Move()
        if (self.Winner() != "continue"):
            return self.Evaluate()

        if(player == "man"): # min层
            for mov in movable_positons:
                self.chessboard[mov[0]][mov[1]] = 1
                # Min层的beta = min(beta, 子结点的alpha)
                beta = min(beta, self.AlphaBeta("machine", alpha, beta))
                self.chessboard[mov[0]][mov[1]] = 0

                if alpha >= beta:
                    return alpha

            return beta

        elif(player == "machine"): # max层
            for mov in movable_positons:
                self.chessboard[mov[0]][mov[1]] = -1
                alpha = max(alpha, self.AlphaBeta("man", alpha, beta))
                self.chessboard[mov[0]][mov[1]] = 0

                # beta是父结点的alpha,即为max层结点的beta
                if alpha >= beta:
                    return beta

            return alpha
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