一、矩阵乘法

矩阵乘法为 A@B 或 np.dot(A,B) ，若为对应元素相乘则用 A*B 或 np.multiply(A,B) 。

1. A@B 和 np.dot(A,B)

A = np.array([
    [1,2],
    [3,4]
])

B = np.array([
    [1,2],
    [3,4]
])

C1 = A @ B
C2 = np.dot(A,B)
print(C1)
print('---------')
print(C2)

输出为

[[ 7 10]
 [15 22]]
---------
[[ 7 10]
 [15 22]]

2. A*B 或 np.multiply(A,B)

A = np.array([
    [1,2],
    [3,4]
])

B = np.array([
    [1,2],
    [3,4]
])

C3 = A*B
C4 = np.multiply(A,B)
print(C3)
print('---------')
print(C4)

输出为

[[ 1  4]
 [ 9 16]]
---------
[[ 1  4]
 [ 9 16]]

二、邻接矩阵的相乘的意义

1.定义

假设存在一个N个节点的无向图。我们用 G[u][v] = G[v][u] = 1 表示从点 u 到点 v 有连边，否则 G[u][v] = G[v][u] = 0。

2.问题

如果用这个图的邻接矩阵进行自乘会得到什么呢？

3.理解

模拟矩阵的运算有 $G^2[u][v]={\sum }_{i=1}^{n}G[u][$i$]\ast G[$i$][v]$。也就是说 $G^2[u][v]$ 是图上点 u 到点 v 恰好经过两条边的路径的条数的矩阵。

具体的解释为
我们可以把原始邻接矩阵 $G[u][v]$ 看作为表示图上 u 到 v 恰好经过一条边的路径条数的矩阵。
那么 $G^2[u][v]={\sum }_{i=1}^{n}G[u][$i$]\ast G[$i$][v]$ 显然就是运用了乘法原理与加法原理。

类似的， $G^3[u][v]$ 表示什么意思呢？
由 $G^3$ 的计算过程 $G^3[u][v]={\sum }_{i=1}^{n}G[u][$i$]\ast G[$i$][$j$]\ast G[$j$][v]$ 。同理可知其表示为 图上点 u 到点 v 恰好经过三条边的路径的条数 的矩阵。或者我们也可以将其看作 $G^3=G^2\ast G$，其本质是相同的。

由上述不难发现该性质对于一般的正整数 k 都是成立的。即 $G^K[u][v]$ 表示图上 u 到 v 恰好经过k条边的路径条数的矩阵。也就是说如果需要在某个图上求 u 到 v 恰好经过 K 条边的路径的条数，我们完全可以使用矩阵快速幂来优化这个计算过程。

4.代码实现

邻接矩阵如下

代码如下

import torch
# 构建邻接矩阵
a = [
    [0,1,1,1],
    [1,0,0,1],
    [1,0,0,1],
    [1,1,1,0]
]

A = torch.tensor(a)
A = torch.mm(A,A)
print(A)

输出结果如下

tensor([[3, 1, 1, 2],
        [1, 2, 2, 1],
        [1, 2, 2, 1],
        [2, 1, 1, 3]])