一、什么是梯度下降法

梯度下降是迭代法的一种,可以用于求解最小二乘问题(线性和非线性都可以)。在求解机器学习算法的模型参数，即无约束优化问题时，梯度下降（Gradient Descent）是最常采用的方法之一，另一种常用的方法是最小二乘法。在求解损失函数的最小值时，可以通过梯度下降法来一步步的迭代求解，得到最小化的损失函数和模型参数值。反过来，如果我们需要求解损失函数的最大值，这时就需要用梯度上升法来迭代了。在机器学习中，基于基本的梯度下降法发展了两种梯度下降方法，分别为随机梯度下降法和批量梯度下降法。

二、如何理解梯度下降法

2.1 概念

顾名思义，梯度下降法的计算过程就是沿梯度下降的方向求解极小值（也可以沿梯度上升方向求解极大值）。

其迭代公式为 ,其中代表梯度负方向，表示梯度方向上的搜索步长。梯度方向我们可以通过对函数求导得到，步长的确定比较麻烦，太大了的话可能会发散，太小收敛速度又太慢。一般确定步长的方法是由线性搜索算法来确定，即把下一个点的坐标看做是ak+1的函数，然后求满足f(ak+1)的最小值的ak+1即可。

因为一般情况下，梯度向量为0的话说明是到了一个极值点，此时梯度的幅值也为0.而采用梯度下降算法进行最优化求解时，算法迭代的终止条件是梯度向量的幅值接近0即可，可以设置个非常小的常数阈值。

2.1.1 微分理解

我们所要优化的函数必须是一个连续可微的函数，可微，既可微分，意思是在函数的任意定义域上导数存在。如果导数存在且是连续函数，则原函数是连续可微的。

梯度下降法的基本思想：梯度下降法(Gradient Descent) –
现代机器学习的血液

• 函数图像中，某点的切线的斜率
• 函数的变化率

2.1.2 梯度理解

以二元函数z=f(x,y)为例，假设其对每个变量都具有连续的一阶偏导数例$\frac{\partial u}{\partial x}$和$\frac{\partial u}{\partial y}$,则这两个偏导数构成的向量[$\frac{\partial u}{\partial x}$,$\frac{\partial u}{\partial y}$]，即为该二元函数的梯度向量，一般记作∇ f(x,y)，其中∇读作“Nabla”。

例子：
J(Θ) = 0.55 -（5θ₁+2θ₂-12θ₃）
∇J(Θ) = [$\frac{\partial J}{\partial {\theta }_1}$,$\frac{\partial J}{\partial {\theta }_2}$,$\frac{\partial J}{{\partial }_3}$] = [−5,−2,12]

梯度的意义：

• 在单变量的函数中，梯度其实就是函数的微分，代表着函数在某个给定点的切线的斜率
• 在多变量函数中，梯度是一个向量，向量有方向，梯度的方向就指出了函数在给定点的上升最快的方向

从几何意义来讲，梯度的方向表示的是函数增加最快的方向，这正是我们下山要找的“最陡峭的方向”的反方向！因此后面要讲到的迭代公式中，梯度前面的符号为“-”，代表梯度方向的反方向。

2.2 举例说明

举一个非常简单的例子，如求函数f(x) = x² 的最小值。
利用梯度下降的方法解题步骤如下：

• 1、求梯度，∇ = 2x
• 2、向梯度相反的方向移动x ，如下
  
• 3、循环迭代步骤2，直到x 的值变化到使得 f(x)在两次迭代之间的差值足够小，比如0.00000001，也就是说，直到两次迭代计算出来的 f(x)基本没有变化，则说明此时 f(x)已经达到局部最小值了。
• 4、此时，输出x ，这个 x就是使得函数f(x) 最小时的 x的取值 。
  
  

三、求解梯度下降法

问题描述：
$f(X)=f(x_1,x_2)=\frac{1}{3}{x}_1^2+\frac{1}{2}{x}_2^2$的 极小值点。
解：设初始点为 $X_1=(3,2)$，学习率为 $\alpha$ 。
$\nabla f(X_1)=(\frac{2}{3})\times 3,\frac{2}{2}\times 2)=(2,2)$
​ 因此更新迭代公式带入原函数中，得：
$f(X_2)=f(X_1-\alpha \nabla f(X_1))=\frac{10}{3}{\alpha }^2-8\alpha +5$
此时，${\alpha }_1^{\ast }=\frac{6}{5}$时，为函数极小点。
因此，再将$X_2$ 作为初始点，重复上面的迭代步骤，
得到：$X_3=(\frac{3}{5^2},\frac{2}{5^2})$
根据规律显然可知：$X_k=(\frac{3}{5^k{-}^1},(-1{)}^k{-}^1,\frac{2}{5^k{-}^1})$

例中目标函数$f(X)$是三维空间中的椭圆抛物面，其投影至二维空间上的等高线是一簇椭圆（下图所示）。$f(X)$的极小点就是这簇椭圆的中心$X\ast =(0,0)$。我们求得的迭代公式{$X_k$}是逐渐趋近于$X^{\ast }$的。

四、python编程演算】

实验环境：

python3.8

函数：
$$z=2(x-1{)}^2+y^2$$
求出：
$$(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y})=(4x-4,2y)$$
4.1 初始设定
给出初始位置$(x_i,y_i),i=0$与学习率$\alpha =0.1$
源码：

# 导入所需库
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
import math
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import warnings
# 原函数
def Z(x,y):
    return 2*(x-1)**2 + y**2
# x方向上的梯度
def dx(x):
    return 4*x-4
# y方向上的梯度
def dy(y):
    return 2*y
# 初始值
X = x_0 = 3
Y = y_0 = 2
# 学习率
alpha = 0.1
# 保存梯度下降所经过的点
globalX = [x_0]
globalY = [y_0]
globalZ = [Z(x_0,y_0)]
# 迭代30次
for i in range(30):
    temX = X - alpha * dx(X)
    temY = Y - alpha * dy(Y)
    temZ = Z(temX, temY)
    # X,Y 重新赋值
    X = temX
    Y = temY
    # 将新值存储起来
    globalX.append(temX)
    globalY.append(temY)
    globalZ.append(temZ)
# 打印结果
print(u"最终结果为:(x,y,z)=(%.5f, %.5f, %.5f)" % (X, Y, Z(X,Y)))
print(u"迭代过程中取值")
num = len(globalX)
for i in range(num):
    print(u"x%d=%.5f, y%d=%.5f, z%d=%.5f" % (i,globalX[i],i,globalY[i],i,globalZ[i]))

结果图：

五、资料引用

Excel和Python实现梯度下降法