模型参考自适应控制系统结构

模型参考自适应控制系统的典型结构如下图所示，系统由参考模型、控制器和自适应率组成。

• 控制器包括被控对象的前馈控制器和反馈控制器，可以根据自适应率进行调整；
• 参考模型实际上是一种理想控制系统，其输出代表了期望的性能，对调节系统的特性要求，如超调量、阻尼时间等等；
• 自适应率用来消除被控对象输出和参考模型期望输出的误差，改变控制器参数或者生成辅助输入。

基于$Lyapunov$稳定性原理的二阶$SISO$系统自适应控制器设计

考虑如下二阶$SISO$系统模型：

$\ddot{x}+{\theta }^T\Phi (x,\dot{x})=u$

其中$\theta =[{\theta }_1{\theta }_2{\theta }_3{]}^T\in {\mathbb{R}}^3$是未知常数向量，$\Phi (x,\dot{x})=[{\Phi }_1(x,\dot{x}){\Phi }_2(x,\dot{x}){\Phi }_3(x,\dot{x}){]}^T\in {\mathbb{R}}^3$为已知的有节基函数，${\theta }^T\Phi (x,\dot{x})$代表系统的结构匹配不确定性。

选取状态变量$x_1=x,x_2=\dot{x}$，则有：

$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=-{\theta }^T\Phi (x,\dot{x})+u\end{array}$

设计如下控制器：

$u=-(\lambda +1)\dot{x}-\lambda x+{\hat{\theta }}^T\Phi (x,\dot{x})$

​ $=-(\lambda +1)x_2-\lambda x_1+{\hat{\theta }}^T\Phi (x_1,x_2)$

其中$\hat{\theta }$是参数$\theta$的估计值，$\lambda$为控制器输入参数且应该大于等于0。

接下来设计估计参数$\hat{\theta }$的更新率，这里结合$Lyapunov$稳定性进行设计。假设参数估计的误差$\tilde{\theta }=\hat{\theta }-\theta$，因为$\theta$为常数，所以$\dot{\tilde{\theta }}=\dot{\hat{\theta }}$，定义$Lyapunov$ 函数：

$$V(x_1,x_2,\tilde{\theta })=\frac{1}{2}(\lambda x_1+x_2{)}^2+\frac{1}{2}{\tilde{\theta }}^T\tilde{\theta }$$

求导：

$\dot{V}(x_1,x_2,\tilde{\theta })=(\lambda x_1+x_2)(\lambda {\dot{x}}_1+{\dot{x}}_2)+{\tilde{\theta }}^T\dot{\hat{\theta }}$

​ $=(\lambda x_1+x_2)(\lambda x_2-{\theta }^T\Phi (x_1,x_2)+u)+{\tilde{\theta }}^T\dot{\hat{\theta }}$

​ $=(\lambda x_1+x_2)(\lambda x_2-{\theta }^T\Phi (x_1,x_2)-(\lambda +1)x_2-\lambda x_1+{\hat{\theta }}^T\Phi (x_1,x_2))+{\tilde{\theta }}^T\dot{\hat{\theta }}$

​ $=-(\lambda x_1+x_2{)}^2+(\lambda x_1+x_2){\tilde{\theta }}^T\Phi (x_1,x_2)+{\tilde{\theta }}^T\dot{\hat{\theta }}$

​ $=-(\lambda x_1+x_2{)}^2+{\tilde{\theta }}^T((\lambda x_1+x_2)\Phi (x_1,x_2)+\dot{\hat{\theta }})$

由$Lyapunov$理论：$\dot{V}\le -\rho V+C$，$V\to \sqrt{\frac{C}{2\rho }}$，为了达到系统的稳定，设计$\hat{\theta }$的自适应更新率为：

$$\dot{\hat{\theta }}=-(\lambda x_1+x_2)\Phi (x_1,x_2)-k\hat{\theta }$$

其中$k$为自适应率输入参数，将$\hat{\theta }$的更新率带入则有：

$\dot{V}(x_1,x_2,\tilde{\theta })=-(\lambda x_1+x_2{)}^2-k{\tilde{\theta }}^T\hat{\theta }$

​ $=-(\lambda x_1+x_2{)}^2-k{\tilde{\theta }}^T(\tilde{\theta }+\theta )$

​ $=-(\lambda x_1+x_2{)}^2-k{\tilde{\theta }}^T\tilde{\theta }-k{\tilde{\theta }}^T\theta$

​ $\le -(\lambda x_1+x_2{)}^2-k{\tilde{\theta }}^T\tilde{\theta }+\frac{k}{2}{\tilde{\theta }}^T\tilde{\theta }+\frac{k}{2}{\theta }^T\theta$

​ $\le -(\lambda x_1+x_2{)}^2-\frac{k}{2}{\tilde{\theta }}^T\tilde{\theta }+\frac{k}{2}{\theta }^T\theta$

由于$\theta$为常数，所以按照以上方式设计的控制器$u$和自适应率$\hat{\theta }$满足$Lyapunov$稳定性。